资源描述
学科：数学
专题：数学思想方法经典精讲（上）
题1：推断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝;(2)f(x)＝- (a>0，且a≠1).
题2：已知，函数．
（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）对（2）中的，若关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．
题3：已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。求椭圆C的方程；求线段MN长度的最小值；当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：的面积为。试确定点T的个数。
题4：已知抛物线C：y2=4（x－1），椭圆C1的左焦点及左准线与抛物线C的焦点F和准线l分别重合.设B是椭圆C1短轴的一个端点，线段BF的中点为P，求点P的轨迹C2的方程。
题5：已知直线，
试求：(1)点关于直线的对称点坐标；
(2)直线关于直线对称的直线的方程；
(3)直线关于点的对称直线方程．
题6：设为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知，是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．
题7：已知直线交抛物线于相异的两点，过两点分别作抛物线的切线，设两切线交于点。（1）若，求直线的方程；（2）若，求的面积的最大值。
题8：已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。
题9：已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.
①问△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.
②当△ABC为钝角三角形时，求这时点C的纵坐标的取值范围.
课后练习详解
题1：答案：偶函数；奇函数.
详解：(1)∵f(x)＝>0,∴ f(x)不行能是奇函数.由f(x)的定义域是(-∞，+∞)，故考虑f(-x)-f(x)是否为零.f(-x)-f(x)＝-＝-＝-＝0.∴f(-x)＝f(x).∴ f(x)＝是偶函数.
(2)f(x)的定义域为R.∵f(x)＝-＝，f(-x)＝＝＝-，∴ f(-x)＝-f(x),∴ f(x)＝-是奇函数.
题2：答案：；的取值范围是．
详解：（1）∵，∴.
∵函数在区间内是减函数，∴在上恒成立．
即在上恒成立，，∴．
故实数的取值范围为．
（2）∵，令得．
①若，则当时，，所以在区间上是增函数，
所以．
②若，即，则当时，，所以在区间上是增函数，所以．
③若，即，则当时，；当时，．
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以．
④若，即，则当时，，所以在区间上是减函数．
所以．
综上所述，函数在区间的最小值
（3）由题意有两个不相等的实数解，
即（2）中函数的图像与直线有两个不同的交点．
而直线恒过定点，由右图知实数的取值范围是．
题3：答案：；；T的个数是2.
详解:（1）由于，且，所以
所以椭圆C的方程为
(2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率明显存在，且
故可设直线AS的方程为，从而
由得
设，则，得
从而，即
又,故直线BS的方程为
由得，所以
故 又，所以
当且仅当时，即时等号成立 所以时，线段MN的长度取最小值
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，
此时AS的方程为，,
所以,要使的面积为，
只需点T到直线AS的距离等于，
所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上
设，则由，解得
当时，由得
由于，故直线与椭圆C有两个不同交点
时，由得
由于，故直线与椭圆C没有交点，综上所求点T的个数是2.
题4：答案：y2=x－2（y≠0）
详解：解法一：由y2=4（x－1）知抛物线C的焦点F坐标为（2，0）.准线l的方程为x=0.设动椭圆C1的短轴的一个端点B的坐标为（x1，y1）（x1＞2，y1≠0），点P（x，y），
则x=， x1=2x－2， y1=2y.
∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）.
设点B在准线x=0上的射影为点B′，椭圆的中心为点O′，则椭圆离心率e=，由=，得=，
整理，化简得y2=x－2（y≠0），这就是点P的轨迹方程.
解法二：抛物线y2=4（x－1）焦点为F（2，0），准线l：x=0.
设P（x，y），∵P为BF中点，∴B（2x－2，2y）（x＞2，y≠0）.设椭圆C1的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，则c=（2x－2）－2=2x－4，b2=（2y）2=4y2，
∵（－c）－（－）=2，∴=2，即b2=2c.∴4y2=2（2x－4），
即y2=x－2（y≠0），此即C2的轨迹方程.
题5：答案：；；。
详解：对称问题可分为四种类型：①点关于点的对称点；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．对于①利用中点坐标公式即可．对于②需利用“垂直”“平分”两个条件．若③④在对称中心（轴），及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常实行坐标转移法，其次对于对称轴（中心）是特殊直线，如：坐标轴、直线，实行特殊代换法，应娴熟把握．
(1)设点关于直线的对称点为，则线段的中点在对称轴上，且．
∴解之得：即坐标为．
(2)直线关于直线对称的直线为，则上任一点关于的对称点
肯定在直线上，反之也成立．由
得把代入方程并整理，得：即直线的方程为．
(3)设直线关于点的对称直线为，则直线上任一点关于点的对称点肯定在直线上，反之也成立．
由得将代入直线的方程得：．
∴直线的方程为．
题6：答案： 或2。
详解：由题意得 a=3，b=2，c= 5，（- 5，0），（ 5，0）．
当轴时，P的横坐标为 ，其纵坐标为，∴．
当时，设，则，3＞m＞0，由勾股定理可得
，即 ，解得 m=2 或 m=4（舍去），
故 ．综上， 的值等于 或2．
题7：答案：y=x+1；4．
详解：（I）设，且，则，
∵，∴ ∴切线方程：，
两式联立且有，，可得
将y=kx+m代入得
由题可知且，
∴即M（2k，-m）
当M（2，-1）时，则2k=2，-m=-1∴k=1，m=1∴直线l的方程为y=x+1
（Ⅱ）∵
∴∵M到AB的距离为
∴△ABM面积
当k=0时，△ABM面积的最大值为4．
题8：详解:如图，设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，（λ>0为常数）
由于圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1
设点M的坐标为（x，y），则
整理得（λ2－1）（x2＋y2）－4λ2x＋（1＋4λ2）＝0
当λ＝1时，方程化为x＝，它表示一条直线，该直线与x轴垂直，交x轴于点（，0）；
当λ≠1时，方程化为（x－）2＋y2＝它表示圆心在（，0），半径为的圆。
题9：答案：y2=4x
详解：（1）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x，如下图.
（2）①由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）.
消去y，得3x2－10x+3=0.
解得A（，），B（3，－2），
若△ABC能为正三角形，
设C（－1，y），则|AC|=|AB|=|BC|，
（+1）2+（－y）2=（3－）2+（2+）2， ①
（3+1）2+（2+y）2=（3－）2+（2+）2. ②
解得y=－.
但y=－不符合（1），所以①②组成的方程组无解.因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.
②设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由
y=－（x－1），
x=－1， 得y=2，
即当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2.
又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=－+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=.
当|BC|2＞|AC|2+|AB|2，即28+4y+y2＞－y+y2+，
即y＞时，∠CAB为钝角.当|AC|2＞|BC|2+|AB|2，
即－y+y2＞28+4y+y2+，
即y＜－时，∠CBA为钝角.
又|AB|2＞|AC|2+|BC|2，即＞－+y2+28+4y+y2，即
y2+y+＜0，（y+）2＜0.
该不等式无解，所以∠ACB不行能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
y＜－或y＞（y≠2）.
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