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第一课时 导数与函数的单调性
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
解析 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．
答案 C
2．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，可得0<x≤1.
答案 B
3．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<c<a
解析 依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有f(－1)<f(0)<f，
即有f(3)<f(0)<f，即c<a<b.
答案 C
4．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
解析 f′(x)＝2x＋a－，由于函数在上是增函数，所以f′(x)≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，设g(x)＝－2x，g′(x)＝－－2，令g′(x)＝－－2＝0，得x＝－1，当x∈时，g′(x)<0，故g(x)max＝g＝4－1＝3，所以a≥3，故选D.
答案 D
5．若f(x)＝，e<a<b，则( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1
解析 f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，
则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．
答案 A
6．已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 设f(x)＝＋lnx＝＋lnx－1，
则f′(x)＝－＋＝.
当x∈时，f′(x)<0，
故函数f(x)在上单调递减；
当x∈(1,2]时，f′(x)>0，
故函数f(x)在(1,2]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝0.
∴a≤0，故a的最大值为0.故选A.
答案 A
二、填空题
7．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上的单调状况是________．
解析 在(0,2π)上有f′(x)＝1－cosx>0，
所以f(x)在(0,2π)上单调递增．
答案 单调递增
8．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．
解析 ∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝(－1)×4＝－4.
答案 －4
9．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.
解析 若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，
则m2－4＝0，m＝±2.
若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，
则Δ＝16＋4×3m≤0，解得m≤－，故m＝－2.
答案 －2
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解 (1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1处有极值.
得即
解之得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)<0，得0<x<1；
由f′(x)>0，得x>1.
所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．
11．(2021·长春模拟)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
解 (1)由已知，函数的定义域为(0，＋∞)．
当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，
所以f′(x)＝2x－＝，
则当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
所以(0,1)为f(x)的单调递减区间．
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，(1，＋∞)为f(x)的单调递增区间．
(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．
(ⅰ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，
设φ(x)＝－2x2，由于φ(x)在[1，＋∞]上单调递减，
所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以a≥0.
(ⅱ)若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，不行能．
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
1．(理)(2022·辽宁卷)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
解析 不等式等价于ax3≥x2－4x－3恒成立．
当x＝0时式子恒成立．
当x>0时，a≥－－恒成立．
令＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.
∴a≥t－4t2－3t3恒成立．
令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2.
对称轴t＝－＝－.
∴函数g′(t)在[1，＋∞)上为减函数．
而且g′(1)＝－16<0，
∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立．
∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数．
∴g(t)max＝g(1)＝－6，∴a≥－6.
当x<0时，a≤－－恒成立．
∵x∈[－2,0)，∴t≤－，
令g′(t)＝0，得t＝－1.
∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在上为增函数．∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴a≤－2.
综上，－6≤a≤－2.
答案 C
(文)对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)
C．f(x)>f(a) D．f(x)<f(a)
解析 由(x－a)f′(x)≥0知，当x>a时，f′(x)≥0；当x<a时，f′(x)≤0.∴当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)．
答案 A
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝
＝－.
由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3.
则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，
由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.
答案 (0,1)∪(2,3)
3．已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．
(1)试推断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)当a＝e，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．
解 (1)f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna.
∵a>1，∴当x∈(0，＋∞)时，lna>0，ax－1>0.
∴f′(x)>0.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)∵f(x)＝ex＋x2－x－4，∴f′(x)＝ex＋2x－1，∴f′(0)＝0.
当x>0时，ex>1，∴f′(x)>0.
∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数；
同理，f(x)是(－∞，0)上的减函数．
又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，
f(2)＝e2－2>0，
当x>2时，f(x)>0，
∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内．
∴k＝1满足条件；
f(0)＝－3<0，f(－1)＝－2<0，
f(－2)＝＋2>0，
当x<－2时，f(x)>0；
∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内．
∴k＝－2满足条件．
综上所述，k＝1或－2.
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