1、2021年高三教学测试（二）文科数学 参考答案一选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1C； 2A； 3D； 4C；5B; 6B; 7A; 8D8【解析】由题意，对任意的非零实数，都存在唯一的非零实数，使得成立，也即函数图象除外，其余均是一个函数值对应两个自变量，结合图象可知：，即当时始终有解，因此， ，因此或二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）9.， 10.， 11.3，1 12. ， 13. 14. 15. 15.【解析】四边形和的面积分别为4和6，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的射影组合而成. 明显，. 若记平面与平面
2、所成角为，则平面与平面所成角为. 它们在平面内的射影分别为和，所以，（其中，），因此，当且仅当时取到. 因此，.三、解答题：（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本题满分14分）三角形中，已知，其中，角所对的边分别为（）求角的大小；（）求的取值范围16.【解析】（）由正弦定理得：， 由余弦定理得：，6分 （）由正弦定理得： 又，而，.14分17（本题满分15分） 已知数列是等比数列，且满足， （）求数列的通项公式；（）若数列是递增数列，且，求数列的前n项和17.【解析】（）由于是等比数列，所以，又因此，是方程，可解得：，或，因此，或所以，或9分（）数列是递增数
3、列，所以，15分18（本题满分15分）如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，、分别为线段、上的动点，且有（）求证：面；（第18题）ADPBCFEMN（）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由18【解析】（）平面，又，面；又，面.6分（） 由条件可得，即为二面角的平面角；若二面角为直二面角，则.在直角三角形PCA中，设，则，在中，由余弦定理可得，；同理可得，；又由，得，解得或.存在直二面角，且CM的长度为1或.15分19（本题满分15分）已知抛物线焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等（）求抛物线的方程；（）设
4、过点的直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程（第19题）19.【解析】（）抛物线的方程为：6分（）由题意可知，直线不垂直于y轴可设直线，则由可得，设，则，由于以为直径的圆过点，所以，即可得：，解得:，直线，即15分20（本题满分15分）已知函数，（）若，且存在互不相同的实数满足，求实数的取值范围；（）若函数在上单调递增，求实数的取值范围20.【解析】（）若，则yxO当时，；当时，.，此时，的图像如图所示要使得有四个不相等的实数根满足，即函数与的图像有四个不同的交点，因此的取值范围为.6分（）（1）若，则，在上单调递增，满足条件；（2）若，则，只需考虑的时候此时的对称轴为，因此，只需，即：（3）若，则结合函数图像，有以下状况：，即时，此时在内单调递增，因此在 内也单调递增，满足条件；Oxy，即时，在和内均单调递增，如图所示，只需或，解得：；由可得，的取值范围为：由（1）、（2）、（3）得，实数的取值范围为：15分命题人沈勤龙、黄海平、吴旻玲、刘 舸吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华2021年3月
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