浙江省嘉兴市2021届高三下学期教学测试(二)数学(文)试卷-扫描版含答案.docx

2021年高三教学测试（二）
文科数学 参考答案
一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1．C； 2．A； 3．D； 4．C；
5．B; 6．B; 7．A; 8．D．
8．【解析】由题意，对任意的非零实数，都存在唯一的非零实数，使得成立，也即函数图象除外，其余均是一个函数值对应两个自变量，结合图象可知：，即当时始终有解，
因此， ，因此或．

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）
9.， 10.， 11.3，1 12. ，
13. 14. 15.
15.【解析】四边形和的面积分别为4和6，长方体在平面内的射影可由这两个四边形在平面内的射影组合而成. 明显，. 若记平面与平面所成角为，则平面与平面所成角为. 它们在平面内的射影分别为和，所以，（其中，），因此，，当且仅当时取到. 因此，.

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）
三角形中，已知，其中，角所对的边分别为．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
16.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：，
∴由余弦定理得：，
∴． …6分
（Ⅱ）由正弦定理得：
又Œ，∴，
∴，
而，∴，
∴，∴. …14分

17．（本题满分15分）
已知数列是等比数列，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是递增数列，且，求数列的前n项和．
17.【解析】（Ⅰ）由于是等比数列，所以，又
因此，是方程，可解得：
，或，因此，或
所以，或 …9分
（Ⅱ）数列是递增数列，所以，
…15分

18．（本题满分15分）
如图，在三棱锥中，平面，，，、、分别为、、的中点，、分别为线段、上的动点，且有．
（Ⅰ）求证：面；
（第18题）

A
D
P
B
C
F
E
M
N
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．
18．【解析】（Ⅰ）∵平面，
∴，
又，∴面；
又∵，
∴面. …6分
（Ⅱ） 由条件可得，即为二面角的平面角；
若二面角为直二面角，则.
在直角三角形PCA中，设，则，
在中，由余弦定理可得，
；
同理可得，；
又由，得，解得或.
∴存在直二面角，且CM的长度为1或. …15分
19．（本题满分15分）
已知抛物线焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．

（第19题）
19.【解析】（Ⅰ）抛物线的方程为：．…6分
（Ⅱ）由题意可知，直线不垂直于y轴
可设直线，
则由可得，，
设，则，
由于以为直径的圆过点，所以，即
可得：
∴
，
解得:，
∴直线，即． …15分

20．（本题满分15分）
已知函数，．
（Ⅰ）若，且存在互不相同的实数满足，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
20.【解析】（Ⅰ）若，则
y
x

O
当时，；当时，.
，此时，的图像如图所示
要使得有四个不相等的实数根满足，
即函数与的图像有四个不同的交点，
因此的取值范围为. …6分
（Ⅱ）（1）若，则，在上单调递增，满足条件；
（2）若，则，只需考虑的时候
此时的对称轴为，因此，只需，即：
（3）若，则
结合函数图像，有以下状况：
，即时，此时在内单调递增，因此在 内也单调递增，满足条件；

O
x
y
，即时，
在和内均单调递增，
如图所示，只需或，
解得：；
由可得，的取值范围为：
由（1）、（2）、（3）得，实数的取值范围为： …15分

命题人
沈勤龙、黄海平、吴旻玲、刘 舸
吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华
2021年3月