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高2021级第四期4月阶段性测试数学试题（理）
满分：150分 时间：120分钟
一．选择题：（共10个小题，每小题5分，共50分）
1、已知命题 为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、若的开放式的二项式系数之和为64，则开放式的常数项为（ ）
A、10 B、20 C、30 D、40
3、给出命题p: 直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0相互平行的充要条件是；
命题q: 若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β。下列结论中正确的是（ ）
A、“p∧q”为真命题 B、“p∨q”为假命题
C、“p∨﹁q”为假命题 D、“p∧﹁q”为真命题
4、已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点之间的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、被4除所得的余数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
6、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为
A、 B、 C、 D、
7、高中某班语文、数学、英语、物理、化学、体育六门课支配在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，若数学课必需在上午，体育课必需在下午，数、理、化三门课中，任何两门课不相邻(上午第四节与下午第一节不叫相邻)，则课程支配的种数为 ( )
A．24 B、96 C．48 D、124
8、在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（ ）
A、16个 B、18个 C、19个 D、21个
9、从1,2,3,…,20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、如右图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架(由24个棱长为l个单位长度的正方体框架组合而成)．一建筑工人从A点沿脚手架到点B，每步走l个单位长度，且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共有 ( )
A．150条
B．525条
C．840条
D．1260条
二．填空题：（共5个小题，每小题5分，共25分）
11、已知 的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是 。
12、张先生订了一份《成都商报》，送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率为 。
13、5双不同号码的鞋，任取4只，恰好取到一双的概率为 。
14、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为 。
15、给出下列结论：
①设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则α⊥β是a⊥b的必要不充分条件。
②在区间[－1，1]上随机取一个数x，则的值介于0到之间的概率为
③从以正方体的顶点连线所成的直线中任取两条，则所取两条直线为异面直线的概率为
④将4个相同的红球和4个相同的篮球排成一排，从左到右每个球依次对应的序号为1,2,3,…,8，若同色球之间不加区分，则4个红球对应的序号之和小于4个蓝球对应的序号之和的排列方法种数为31.
其中正确结论的序号为 。
三、解答题
16、已知在的开放式中，第6项为常数项
（1）求开放式中各项系数的和；
（2）求的值；
（3）求开放式中系数确定值最大的项。
17、在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会打算在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参与颁奖仪式的高一、高二、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有6人。
(1)把在前排就座的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f，现从中随机抽取2人上台抽奖，求a和b至少有一人上台抽奖的概率；
(2)抽奖活动的规章是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x,y，并按如图所示的程序框图执行. 若电脑显示“中奖"，则该代表中奖；若电脑显示“感谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．
18、树德中学的机器人代表队在刚结束的全国总决赛中脱颖而出，取得把握奖全国第一的骄人成果。该代表队由高二的三名男生和一名女生以及高一的两名男生组成。
（1）在赛后的颁奖典礼上，这六位同学排成一排拍照留念，要求女生不站两边，且高一的两名男生不相邻，则这样的排法有多少种？
（2）在赛前的宣扬活动中，主办方预备将5份不同的宣扬资料全部分发给高二的三名男生，则这三个男生每人至少拿到一份的概率为多少？
19、如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
(1)求证：AM//平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求 的最大值。
20、已知抛物线C：y2=4x，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A,B两点，O为坐标原点．
(1)若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动， 恒为定值？
21、椭圆C：的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l。
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围。
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点。设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值。
高2021级第四期4月阶段性测试数学试题参考答案（理）
一、选择题
1－5 DBDBA 6-10 CCCAB
二、填空题
11、 12、 13、 14、5 15、②③④
三、计算题
16、解：
（1）
（2）原式＝
（3）
∴开放式中系数确定值最大的项为 （4分）
17、解：（1）由题意得，从高二代表队6人中随机抽取2人的全部基本大事有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f)，共15种，
设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为大事M，则大事M的基本大事有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)，共9种，所以 （6分）
（2）由已知在如图所示的正方形OABC内，由 得到的区域如图中阴影部分所示。
所以阴影部分的面积为
设“该代表中奖”为大事N，则 （6分）
18、（1）336 （6分）
（2） （6分）
19、解：（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(0,2,0), C(2,2,0), D(1,0,0), S(0,0,2), M(0,1,1)。
设平面SCD的法向量为 =(x,y,z)，
（4分）
（2）易知平面SAB的一个法向量为=(1,0,0).
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为
则
∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为 （4分）
（3）设
易知平面SAB的一个法向量为=(1,0,0).
当 （4分）
20、解：（1）当m=1时，M(1,0)，此时，点M为抛物线C的焦点，
直线l的方程为
消去y得， ∴圆心坐标为(3,2)。
又 ∴ 圆的半径为4， ∴圆的方程为 （6分）
（2）由题意可设直线的方程与抛物线C：y2=4x联立，
消去
对任意k∈R恒为定值，
于是
∴存在定点M(2,0)，满足题意。 （7分）
21、解：（1）由于
由题意知
又 （3分）
（2）设
由题意知
由于点P在椭圆上，所以
所以
（3）设 则直线l的方程为
联立
由题意得
又
由（2）知
所以
因此 （6分）
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