资源描述
阶段性训练
基础巩固
一、选择题
1．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈( )
A．M B．P
C．Q D．M∪P
[答案] C
[解析] 设a＝3k1，k1∈Z，b＝3k2＋1，k2∈Z，c＝3k3－1，k3∈Z，a＋b－c＝3k1＋3k2＋1－(3k3－1)＝3(k1＋k2－k3)＋2＝3(k1＋k2－k3＋1)－1∈Q，故选C.
2．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x<3}，如图所示，则阴影部分表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|x≤2或x>3} D．{x|－2≤x≤2}
[答案] A
[解析] 由图知所求集合为：∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x≥3}＝{x|－2≤x<1}，故选A.
3．设f(x)＝，则f(5)的值是( )
A．9 B．11
C．13 D．15
[答案] D
[解析] f(5)＝f(f(7))＝f(f(f(9)))＝f(f(11))＝f(13)＝15.
4．已知函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则a的取值范围是( )
A．(0，] B．[，]
C．(，1] D．[1，＋∞)
[答案] C
[解析] 若f(x)在R内递减满足，解得<a≤1，故选C.
5．函数f(x)＝的图象关于( )对称．( )
A．x轴 B．y轴
C．原点 D．y＝x
[答案] C
[解析] f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝＝－f(x)是奇函数，故选C.
6．函数f(x)＝3－(x－u)2的最大值为m，且f(x)为偶函数，则m＋u＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
[解析] f(x)＝3－(x－u)2＝()(x－u)2，又f(－x)＝() (－x－u)2＝()(x+u)2，又f(x)＝－f(－x)，∴u＝0，∴f(x)＝()x2，当x＝0时，f(x)有最大值1，∴m＋u＝1，故选C.
二、填空题
7．若集合A＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，B＝{(x，y)|x－2y＋4＝0}，C＝{(x，y)|y＝3x＋b}，若(A∩B)⊆C，则b＝________.
[答案] 2
[解析] A∩B＝{(x，y)|}＝{(0,2)}，又(A∩B)⊆C，∴2＝3×0＋b，∴b＝2.
8．若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________．
[答案] m≤－2
[解析] 由于y＝2－x＋1＋m的图象不过第一象限，得2－0＋1＋m≤0，∴m≤－2.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝且f(1)＝3.
(1)证明函数f(x)是奇函数．
(2)证明f(x)在(，＋∞)上为增函数．
(3)求函数f(x)在[2,5]上的最大值与最小值．
[解析] (1)证明∵f(1)＝3，∴＝3，∴a＝2，∴f(x)＝，∴f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)在(，＋∞)上任取x1，x2，设x2>x1>，f(x2)－f(x1)＝－＝(x2＋)－(x1＋)＝(x2－x1)＋(－)＝(x2－x1)＋＝(x1x2－2)>0，∴f(x)在(，＋∞)上为增函数．
(3)由(2)得f(x)在[2,5]上为增函数，最大值f(5)＝，最小值f(2)＝3.
10．已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值．
(2)画出函数图象．
(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，求a的取值范围．
[解析] (1)设x<0，则f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x，∴m＝2.
(2)函数f(x)的图象为：
(3)由图象可知，－1<|a|－2≤1，∴1<|a|≤3，∴1<a≤3或－3≤a<1.
力气提升
一、选择题
1．集合M＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，N＝{x|x＝±，k∈Z}，则集合M与N的关系为( )
A．M＝N B．MN
C．NM D．M与N关系不确定
[答案] A
[解析] 对于集合M，当k＝2n(n∈Z)时，M＝{x|x＝＋，n∈Z}，当k＝2n－1，n∈Z时，M＝{x|x＝－，n∈Z}，所以M＝N，故选A.
2．已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为( )
A．2 B.
C．4 D．6
[答案] A
[解析] y＝f(x＋1)的定义域为：3－2a≤x＋1≤a＋1，∴2－2a≤x≤a，∴2－2a＋a＝0，∴a＝2，故选A.
3．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则f(7.5)＝( )
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
[答案] B
[解析] f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故选B.
4．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋1，在(0，＋∞)的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是( )
A．m>2 B．m<2
C．m≤2 D．m≥2
[答案] B
[解析] 由已知得9x－m·3x＋1>0，∴m<即m<3x＋，设3x＝t，∵x>0，∴t>1，∴y＝t＋，在(1，＋∞)上递增，有最小值2，∴m<2，故选B.
二、填空题
5．已知f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(2)＋f(3)＝________.
[答案] 27
[解析] 由f(1)＝3，得a＋＝3，f(0)＝a0＋a0＝2，f(2)＝a2＋a－2＝(a＋)2－2＝7，f(3)＝a3＋a－3＝(a＋)(a2－1＋)＝3×6＝18，∴f(0)＋f(2)＋f(3)＝27.
6．设集合A＝[0，)，B＝[，1]，函数f(x)＝，若x0∈A，且f[f(x0)]∈A，则x0的取值范围是________．
[答案] (，)
[解析] ∵x0∈A，∴f(x0)∈[，1)，∴f[f(x0)]＝2(1－f(x0))∈A，∴<f(x0)<1，∴<x0＋<1，∴<x0<.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝b·ax(其中a、b为常数，a>0，a≠1)的图象过点，A(1，)，B(3，)．
(1)求f(x)
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈[1，＋∞)时恒成立，求m的取值范围．
[解析] (1)由已知得，解得，∴f(x)＝×()x.
(2)()x＋()x－m＝2x＋3x－m，∴m≤2x＋3x，∵y＝2x＋3x在[1，＋∞)上为增函数，∴最小值为5，∴m≤5.
8．已知函数y＝f(x)对任意x、y∈R都有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x<0时f(x)<0，又f(1)＝2.
(1)推断并证明f(x)在R上的单调性．
(2)求f(x)在[－2,3]上的最大值和最小值．
[解析] (1)设x2>x1，f(x1)－f(x2)＝f[x2＋(x1－x2)]－f(x2)＝f(x2)＋f(x1－x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，∵x1－x2<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)由已知得f(x)在[－2,3]上的最大值为f(3)，最小值为f(－2)，f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝6，f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.又f(1)＋f(－1)＝f(0)，∴f(－1)＝－2，f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝－4.
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