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课时提升作业(九)
一、选择题
1.(2021·宝鸡模拟)已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则( )
(A)y1<y2<y3 (B)y3<y2<y1
(C)y1<y3<y2 (D)y2<y1<y3
2.(2021·西安模拟)函数y=的图像是( )
3.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是
( )
(A)[1,+∞) (B)[0,2]
(C)[1,2] (D)(-∞,2]
4.若f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则f(m+1)的值是( )
(A)正数 (B)负数
(C)非负数 (D)不能确定正负
5.(2021·延安模拟)设a=(，b=(，c=(，则a，b，c的大小关系是( )
(A)b>c>a (B)a>b>c
(C)c>a>b (D)a>c>b
6.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是( )
7.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是削减的,则实数a的取值范围是
( )
(A)[-3,0) (B)(-∞,-3]
(C)[-2,0] (D)[-3,0]
8.(2021·安庆模拟)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
9.(2021·南昌模拟)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一.
则a的值为( )
(A)1 (B)
(C)-1 (D)
10.(力气挑战题)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,]恒成立,则a的最小值是( )
(A)0 (B)2 (C)- (D)-3
二、填空题
11.若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .
12.(2021·上饶模拟)已知关于x的方程x2+a|x|+a2-9=0只有一个实数解,则实数a的值为 .
13.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是 .
14.(2021·咸阳模拟)已知二次函数f(x)=2x2-(a-2)x-2a2-a，若在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)>0，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
15.(力气挑战题)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在实数m,n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n],假如存在,求出m,n的值,假如不存在,说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.y=x2-2x=(x-1)2-1.
则函数在[1,+∞)上是增加的,
∵m>2,
∴1<m-1<m<m+1,
∴y1<y2<y3.
2.【解析】选B.在第一象限内,类比y=的图像知选B.
3.【解析】选C.y=(x-1)2+2,由x2-2x+3=3得x=0或x=2,∴1≤m≤2.
4.【解析】选B.f(x)=(x-)2+a-,其对称轴为x=,而-m,m+1关于对称,
故f(m+1)=f(-m)<0.
5.【解析】选D.由函数y=在(0，+∞)上是增加的知，
(>(，
由函数y=()x在R上是减函数知(<(，
∴a>c>b.
6.【解析】选D.对于选项A,C,都有∴abc<0,故排解A,C.对于选项B,D,都有->0,即ab<0,则当c<0时,abc>0.
7.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1明显成立,
当a≠0时,需解得-3≤a<0,
综上可得-3≤a≤0.
【误区警示】本题易忽视a=0这一状况而误选A,失误的缘由是将关于x的函数误认为是二次函数.
8.【解析】选C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
∴
∴f(x)=
当x≤0时,由f(x)=x得x2+4x+2=x,
解得x=-2或x=-1.
当x>0时,由f(x)=x得x=2.
故关于x的方程f(x)=x的解的个数是3个.
9.【解析】选C.由b>0知,二次函数对称轴不是y轴,结合二次函数的开口方向及对称轴位置,二次函数图像是第③个.从而a2-1=0且a<0,∴a=-1.
10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x2+1,
∵x∈(0,],∴g(a)为增加的.
当x=时满足:a++1≥0即可,解得a≥-.
方法二:由x2+ax+1≥0得a≥-(x+)在x∈(0,]上恒成立,
令g(x)=-(x+),则知g(x)在(0,]上是增加的,
∴g(x)max=g()=-,∴a≥-.
11.【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.
【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图像关于y轴对称.
∴2a+ab=0,∴b=-2或a=0(舍去).
∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],
∴2a2=4,f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
12.【解析】设f(x)=x2+a|x|+a2-9,
则f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-9
=x2+a|x|+a2-9=f(x),
即函数f(x)是偶函数.
由题意知,f(0)=0,则a2-9=0,
∴a=3或a=-3,
经检验a=3符合题意,a=-3不合题意,故a=3.
答案:3
13.【思路点拨】由题意知二次函数的图像开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.
【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远函数值越大,∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,
即|2x2+1|<|x2-2x+1|,
∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.
答案:(-2,0)
14.【解析】二次函数f(x)在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)>0的否定为:对于区间[0，1]内的任意一个x都有f(x)≤0.
∴即
解得a≥1或a≤-2.
∴二次函数在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)>0的实数a的取值范围是(-2，1).
答案:(-2，1)
15.【解析】(1)∵f(x)满足f(1+x)=f(1-x),
∴f(x)的图像关于直线x=1对称.
而二次函数f(x)的对称轴为x=-,
∴-=1 ①
又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,
∴Δ=(b-1)2=0 ②
由①②得b=1,a=-,∴f(x)=-x2+x.
(2)∵f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤.
假如存在满足要求的m,n,则必需3n≤,
∴n≤.
从而m<n≤<1,而x≤1时,f(x)是增加的,
∴
可解得m=-4,n=0满足要求.
∴存在m=-4,n=0满足要求.
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