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高考题专突破 高考中的不等式问题
考点自测
1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式确定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D.>0
答案 B
解析 A项：当c<0时，不等式a＋c≥b－c不愿定成立；C项：c＝0时，ac＝bc；D项：c＝0时，＝0；B项：a>b⇒a－b>0，由于c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.
2．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是( )
A．{x|－1≤x≤－1} B．{x|x≤1}
C．{x|x≤－1} D．{x|－－1≤x≤－1}
答案 C
解析 由题意不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于
(1)或
(2)
解不等式组(1)得x<－1；
解不等式组(2)得－1≤x≤－1.
故原不等式的解集是{x|x≤－1}，选C.
3．若x、y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.∪
答案 C
解析 直线3x－5y＋6＝0和直线2x＋3y－15＝0的斜率分别为k1＝，k2＝－.
作可行域如图所示，当且仅当直线z＝ax＋y过点(3,3)时，z
取得最大值，
则直线z＝ax＋y的斜率－a满足－<－a<，
解得－<a<，故选C.
4．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am、an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．不存在
答案 A
解析 由题意可知，a5q2＝a5q＋2a5(q>0)，
化简得q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)．
由＝4a1，得a1qm－1·a1qn－1＝16a，
∴qm＋n－2＝16＝24，
∴m＋n＝6，
∴＋＝(＋)·
＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，
当且仅当＝，即m＝2，n＝4时，取“＝”．
5．(2021·课标全国Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案 D
解析 由于2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在坐标系中，作出函数f(x)＝x－a，g(x)＝2－x的图象，
当x>0时，g(x)＝2－x<1，
所以假如存在x>0，使2x(x－a)<1，
即f(x)<g(x)，则有－a<1，即a>－1，所以选D.
题型一 含参数不等式的解法
例1 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax (a∈R)．
解 原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为
(x＋1)≥0⇒x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即a>－2，解得≤x≤－1.
综上所述，当a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2<a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；
当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.
思维升华 解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)若二次项含有参数应争辩是否等于0，小于0，和大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)推断方程的根的个数，争辩判别式Δ与0的关系．
(3)当方程有两个根时，要争辩两根的大小关系，从而确定解集形式．
(1)若0<a<1，则不等式(a－x)(x－)>0的解集是______．
(2)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于________．
答案 (1)(a，) (2)
解析 (1)原不等式即为(x－a)(x－)<0，由0<a<1得a<，∴a<x<.
(2)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，
∵a>0，
∴不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(－2a,4a)．
又∵不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，
∴x1＝－2a，x2＝4a.
∵x2－x1＝15，
∴4a－(－2a)＝15，解得a＝.
题型二 线性规划问题
例2 制订投资方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能毁灭的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，依据猜想，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人方案投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
将z＝x＋0.5y变形为
y＝－2x＋2z，
这是斜率为－2、随z变化的一族平行线，
当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，
直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．
这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组
得x＝4，y＝6，
此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
即当x＝4，y＝6时，z取得最大值，
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
思维升华 对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，精确 列出线性约束条件，然后寻求最优解，最终回到实际问题．
(1)实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
(2)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．假如生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当支配生产，可产生的最大利润是________元．
答案 (1)21 (2)30 000
解析 (1)方法一 作出不等式组表示的平面区域．如图中阴影部分．
z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B的坐标为(7,9)，明显，点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
方法二 由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，明显此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．明显，当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.
(2)设生产甲种肥料x车皮，生产乙种肥料y车皮，则z＝10 000x＋5 000y，约束条件为
画出图形如图所示，由图可知，
在D(2,2)处有最大值，且zmax＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．
题型三 基本不等式的应用
例3 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，打算安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后接受太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式．
(2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？
解 (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．
由C(0)＝＝24，得k＝2 400，
所以y＝15×＋0.5x＝＋0.5x，x≥0.
(2)由于y＝＋0.5(x＋5)－2.5
≥2－2.5＝57.5，
当且仅当＝0.5(x＋5)，
即x＝55时取等号，
所以当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．
思维升华 (1)此类问题的背景往往是人们关怀的社会热点问题，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)应用基本不等式求最值要留意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义．
(1)设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为( )
A．4 B．4
C．9 D．16
(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建筑第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．
答案 (1)D (2)10
解析 (1)由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.
∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.
(2)设应把楼房设计成x层，每层有面积y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为
k＝
＝＋20x＋380≥2 ＋380＝780，当且仅当＝20x，
即x＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．
题型四 不等式恒成立问题
例4 (1)已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，求实数λ的最小值．
(2)已知函数f(x)＝mx2－mx－1，对x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵3x2＋4xy＝3x2＋2·x·2y≤3x2＋(x2＋4y2)
＝4(x2＋y2)，x，y为非零实数
∴≤4，
又∵λ≥对任意非零实数x，y恒成立，
∴λ的最小值为4.
(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，即
m(x－)2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m(x－)2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<，则0<m<；
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是(－∞，)．
方法二 ∵f(x)<－m＋5⇔m(x2－x＋1)<6，
∵x2－x＋1>0，∴m<对于x∈[1,3]恒成立，
只需求的最小值，
记g(x)＝，x∈[1,3]，
记h(x)＝(x－)2＋，
h(x)在[1,3]上为增函数．
则g(x)在[1,3]上为减函数，
∴[g(x)]min＝g(3)＝，
∴m<.
所以m的取值范围是(－∞，)．
思维升华 含参数的不等式恒成立问题的两种基本解法：
(1)通过分别参数，参数的范围化归为函数的最值问题．
a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；
a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
(2)构造函数，利用函数最值法求解，
即f(x)≥0恒成立⇔f(x)min≥0；
f(x)≤0恒成立⇔f(x)max≤0.
(1)设函数f(x)＝lg[ax2＋x＋(b2－b＋)](a≠0)，若对任意实数b，函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为________．
(2)若不等式x2＋ax＋4≥0对于一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．
答案 (1)(1，＋∞) (2)[－5，＋∞)
解析 (1)函数f(x)的定义域为R，则满足
即
对任意实数b恒成立，只要4a大于的最大值即可，
而的最大值为4，即4a>4，a>1.
(2)x2＋ax＋4≥0变形为ax≥－(x2＋4)．
∵x>0，∴a≥－恒成立．
∵x∈(0,1]，
∴－＝－(x＋)≤－5，∴a≥－5.
(时间：70分钟)
1．解关于x的不等式x2－(2＋m)x＋2m<0.
解 原不等式可化为(x－2)(x－m)<0.
①当m>2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为{x|2<x<m}；
②当m<2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为{x|m<x<2}；
③当m＝2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为∅.
综上所述：当m>2时，不等式的解集为{x|2<x<m}；
当m<2时，不等式的解集为{x|m<x<2}；
当m＝2时，不等式的解集为∅.
2．已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．
(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
解 (1)依据题意，m≠1且Δ>0，
即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，
得m2>0，所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下，设两根为x1、x2，则
由于＋＝＝m－2，
所以＋＝(＋)2－
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}．
3．某小型工厂支配甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：
原材料
甲(吨)
乙(吨)
资源数量(吨)
A
1
1
50
B
4
0
160
C
2
5
200
假如甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何支配生产，工厂每周才可获得最大利润？
解 设工厂一周内支配生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元．
依据题意，得目标函数为z＝300x＋200y，约束条件为
欲求目标函数z＝300x＋200y＝100(3x＋2y)的最大值，先画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40,0)，B(40,10)，C(，)，D(0,40)．
作直线3x＋2y＝0，当移动该直线过点B(40,10)时，3x＋2y取得最大值，则z＝300x＋200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故zmax＝300×40＋200×10＝14 000.
所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元．
4．提高大桥的车辆通行力气可改善整个城市的交通状况．一般状况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．争辩表明：当50<x≤200时，车流速度v与车流密度x满足v(x)＝40－.当桥上的车流密度达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
(1)当0<x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据≈2.236)
解 (1)由题意：当0<x≤50时，v(x)＝30；
当50<x≤200时，v(x)＝40－，
由已知可知，当x＝200时，v(x)＝0代入解得k＝2 000.
故函数v(x)的表达式为v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0<x≤50时，f(x)＝30x，当x＝50时，
取得最大值1 500.
当50<x≤200时，f(x)＝40x－
＝－40(250－x)＋40×250＋
＝12 000－
≤12 000－2＝12 000－4 000
≈12 000－4 000×2.236＝3 056.
当且仅当40(250－x)＝，
即x＝250－50≈138(x＝250＋50舍)时，等号成立，f(x)取最大值．
综上，当车流密度为138辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 056辆/小时．
5．已知f(x)＝.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围．
解 (1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0，
由已知其解集为{x|x<－3或x>－2}，
得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
所以－2－3＝，即k＝－.
(2)∵x>0，f(x)＝＝≤，
由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，
故实数t的取值范围是.
6.如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为1；②其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量，设移动距离d＝100，面积S＝.
(1)写出y的表达式；
(2)若0<v≤10,0<c≤5，试依据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
解 (1)由题意知， E移动时单位时间内的淋雨量为
|v－c|＋，
从而y＝(|v－c|＋)＝(3|v－c|＋1)．
当0<v≤c时，y＝[－3(v－c)＋1]＝[－3v＋(3c＋1)]＝50(－3＋)；
当v>c时，y＝[3(v－c)＋1]＝[3v＋(1－3c)]
＝50(3＋)．
故y＝
(2)由(1)知，当0<v≤c时，由于3c＋1>0，
所以y是关于v的减函数，
当v＝c时，ymin＝50(－3＋)＝.
当c<v≤10时，y＝50(3＋)，
若1－3c<0，即c>，则y是关于v的增函数，
y>，故当0<c≤时，在v＝c时y取最小值为
ymin＝；
若1－3c≥0，即0<c≤，则0<c<时，y是关于v的减函数，
当v＝10时，ymin＝5(31－3c)．
c＝时，y＝150.
在0<c≤时，－5(31－3c)＝(10－31c＋3c2)
＝(c－10)(3c－1)≥0，
即≥5(31－3c)．
故当0<c≤时，ymin＝155－15c.
综上所述，当0<c≤时，在v＝10时总淋雨量y有最小值155－15c；
当<c≤5时，在v＝c时总淋雨量y有最小值.
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