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阶段回扣练7 不等式
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一、选择题
1．“|x|＜2”是“x2－x－6＜0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 不等式|x|＜2的解集是(－2，2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2，3)，于是当x∈(－2，2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.
答案 A
2．(2021·深圳调研)若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是 ( )
A．|a|＞|b| B．a3＞b3
C.＜ D．ab2＞b3
解析 在选项A，C中，当a＝2，b＝－3时，不等式不成立；D中当a＝2，b＝0时，不等式不成立，故选B.
答案 B
3．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为 ( )
A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}
B．{x|－1＜x＜－lg 2}
C．{x|x＞－lg 2}
D．{x|x＜－lg 2}
解析 由已知条件，得0＜10x＜，解得x＜lg ＝－lg 2.
答案 D
4．(2022·武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 ( )
A．(－3，0] B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0)
解析 由题意可得
解得－3＜k＜0，故选D.
答案 D
5．(2022·沈阳调研)设x，y满足则z＝x＋y ( )
A．有最小值2，无最大值 B．有最小值2，最大值3
C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值
解析 由不等式组画出可行域如图阴影部分所示，将z＝x＋y变成截距式y＝－x＋z，所以直线在y轴上的截距的最大值即为z的最大值，直线在y轴上的截距的最小值即为z的最小值，由图可知，当直线过A(2，0)时，截距最小，即zmin＝0＋2＝2，z无最大值，故选A.
答案 A
6．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是 ( )
A. B．1 C．4 D．8
解析 由a＞0，b＞0，ln(a＋b)＝0得
故＋＝＝≥＝＝4，
当且仅当a＝b＝时上式取“＝”．
答案 C
7．(2021·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为 ( )
A．4 B．5 C. D.
解析 依题意，得3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)，因此有≤4，当且仅当x＝2y时取等号，即的最大值是4，结合题意得λ≥，
故λ≥4，即λ的最小值是4.
答案 A
8．某车间分批生产某种产品，每批的生产预备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
解析 设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20，当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.
答案 B
9．(2021·福州质量检测)已知x，y满足且目标函数z＝2x＋y的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是 ( )
A．1 B. C. D.
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在y轴上的截距最大，此时z＝2x＋y取得最大值3；当平移到经过该平面区域内的点(a，a)时，相应直线在y轴上的截距最小，此时z＝2x＋y取得最小值3a，于是有8×3a＝3，a＝，故选D.
答案 D
10．(2021·银川质量检测)设x，y满足约束条件若目标函数z＝2x＋3y取得最小值1，则c的值为 ( )
A．10 B．7 C．5 D．3
解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x＋3y＝1，结合图形可知，要满足题意，直线2x－y－c＝0需经过直线2x＋3y＝1与直线x＝2的交点，即点(2，－1)，于是有2×2＋1－c＝0，c＝5(经检验，符合题意)，故选C.
答案 C
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2，4) D．(－4，2)
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
答案 D
12．(2022·山东卷)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为 ( )
A．5 B．4
C. D．2
解析 不等式组表示的平面区域为图中的阴影部分．
由于a＞0，b＞0，所以目标函数z＝ax＋by在点A(2，1)处取得最小值，即2a＋b＝2.
法一 a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≥4，即a2＋b2的最小值为4.
法二 表示坐标原点与直线2a＋b＝2上的点之间的距离，故的最小值为＝2，即a2＋b2的最小值为4.
答案 B
二、填空题
13．(2022·重庆模拟)若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．
解析 依题意得即a＝5b＜0，不等式ax2＋bx－a＞0，即5bx2＋bx－4b＞0(b＜0)，5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜.因此，不等式ax2＋bx－a＞0的解集是.
答案
14．(2022·南昌模拟)若不等式x2＋2x＋2＞|a－2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析 依题意，函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的最小值是1，于是有|a－2|＜1，即－1＜a－2＜1，1＜a＜3，
即实数a的取值范围是(1，3)．
答案 (1，3)
15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析 每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x＞0，故≤
18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案 5 8
16．(2021·广州综合测试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8，则ab的最大值为________．
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线ax＋by＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1，4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝ax＋by取得最大值，于是有a＋4b＝8，8＝a＋4b≥2＝4，ab≤4，当且仅当a＝4b＝4时取等号，因此ab的最大值为4.
答案 4
17．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析 f(x)＝－x2＋x＝－＋(x≤1)，
故当x＝时，f(x)在(－∞，1)上的最大值为；
函数f(x)＝logx，x∈(1，＋∞)为单调递减函数，
故x∈(1，＋∞)时，f(x)＜f(1)＝0，综上，f(x)在R上的最大值为.由m2－m≥解得m≤－或m≥1.
答案 ∪[1，＋∞)
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