2022届一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破：高考中的不等式问题.docx

高考题专突破高考中的不等式问题考点自测1若a，b，cR，且ab，则下列不等式确定成立的是()Aacbc B(ab)c20Cacbc D.0答案B解析A项：当cbab0，由于c20，所以(ab)c20.故选B.2已知函数f(x)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|1x1答案C解析由题意不等式x(x1)f(x1)1等价于(1)或(2)解不等式组(1)得x1；解不等式组(2)得1x1.故原不等式的解集是x|x1，选C.3若x、y满足条件当且仅当xy3时，zaxy取得最大值，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析直线3x5y60和直线2x3y150的斜率分别为k1，k2.作可行域如图所示，当且仅当直线zaxy过点(3,3)时，z取得最大值，则直线zaxy的斜率a满足a，解得a0)，化简得q2q20，解得q2或q1(舍去)由4a1，得a1qm1a1qn116a，qmn21624，mn6，()(5)(52)，当且仅当，即m2，n4时，取“”5(2021课标全国)若存在正数x使2x(xa)0，所以由2x(xa)1得xa0时，g(x)2x0，使2x(xa)1，即f(x)g(x)，则有a1，所以选D.题型一含参数不等式的解法例1解关于x的不等式ax222xax (aR)解原不等式可化为ax2(a2)x20(ax2)(x1)0.当a0时，原不等式化为x10x1.当a0时，原不等式化为(x1)0x或x1.当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1；当2，解得x1.综上所述，当a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0时，原不等式的解集为(，1.思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应争辩是否等于0，小于0，和大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)推断方程的根的个数，争辩判别式与0的关系(3)当方程有两个根时，要争辩两根的大小关系，从而确定解集形式(1)若0a0的解集是_(2)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于_答案(1)(a，)(2)解析(1)原不等式即为(xa)(x)0，由0a1得a，ax.(2)由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，不等式x22ax8a20的解集为(2a,4a)又不等式x22ax8a20，于是目标函数等价于zx2y4，即转化为一般的线性规划问题明显，当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax21.(2)设生产甲种肥料x车皮，生产乙种肥料y车皮，则z10 000x5 000y，约束条件为画出图形如图所示，由图可知，在D(2,2)处有最大值，且zmax10 00025 000230 000(元)题型三基本不等式的应用例3近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，打算安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后接受太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)(x0，k为常数)记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式(2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？解(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费由C(0)24，得k2 400，所以y150.5x0.5x，x0.(2)由于y0.5(x5)2.522.557.5，当且仅当0.5(x5)，即x55时取等号，所以当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元思维升华(1)此类问题的背景往往是人们关怀的社会热点问题，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)应用基本不等式求最值要留意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义(1)设x，y均为正实数，且1，则xy的最小值为()A4 B4C9 D16(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建筑第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成_层答案(1)D(2)10解析(1)由1可得xy8xy.x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)，即xy280，解得4，即xy16，故xy的最小值为16.(2)设应把楼房设计成x层，每层有面积y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k20x3802 380780，当且仅当20x，即x10时取等号，故应把楼房设计成10层题型四不等式恒成立问题例4(1)已知任意非零实数x，y满足3x24xy(x2y2)恒成立，求实数的最小值(2)已知函数f(x)mx2mx1，对x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解(1)3x24xy3x22x2y3x2(x24y2)4(x2y2)，x，y为非零实数4，又对任意非零实数x，y恒成立，的最小值为4.(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m(x)2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是(，)方法二f(x)m5m(x2x1)0，m对于x1,3恒成立，只需求的最小值，记g(x)，x1,3，记h(x)(x)2，h(x)在1,3上为增函数则g(x)在1,3上为减函数，g(x)ming(3)，mf(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立a4，a1.(2)x2ax40变形为ax(x24)x0，a恒成立x(0,1，(x)5，a5.(时间：70分钟)1解关于x的不等式x2(2m)x2m0.解原不等式可化为(x2)(xm)2时，不等式(x2)(xm)0的解集为x|2xm；当m2时，不等式(x2)(xm)0的解集为x|mx2；当m2时，不等式(x2)(xm)2时，不等式的解集为x|2xm；当m2时，不等式的解集为x|mx0，即(m2)24(m1)(1)0，得m20，所以m1且m0.(2)在m0且m1的条件下，设两根为x1、x2，则由于m2，所以()2(m2)22(m1)2.得m22m0，所以0m2.所以m的取值范围是m|0m1或1m23某小型工厂支配甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200假如甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润为200元，那么应如何支配生产，工厂每周才可获得最大利润？解设工厂一周内支配生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元依据题意，得目标函数为z300x200y，约束条件为欲求目标函数z300x200y100(3x2y)的最大值，先画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40,0)，B(40,10)，C(，)，D(0,40)作直线3x2y0，当移动该直线过点B(40,10)时，3x2y取得最大值，则z300x200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)故zmax300402001014 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元4提高大桥的车辆通行力气可改善整个城市的交通状况一般状况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时争辩表明：当50x200时，车流速度v与车流密度x满足v(x)40.当桥上的车流密度达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到个位，参考数据2.236)解(1)由题意：当0x50时，v(x)30；当50x200时，v(x)40，由已知可知，当x200时，v(x)0代入解得k2 000.故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x50时，f(x)30x，当x50时，取得最大值1 500.当50k的解集为x|x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围解(1)f(x)kkx22x6k0，由已知其解集为x|x2，得x13，x22是方程kx22x6k0的两根，所以23，即k.(2)x0，f(x)，由已知f(x)t对任意x0恒成立，故实数t的取值范围是.6.如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|S成正比，比例系数为1；其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量，设移动距离d100，面积S.(1)写出y的表达式；(2)若0v10,0c5，试依据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少解(1)由题意知， E移动时单位时间内的淋雨量为|vc|，从而y(|vc|)(3|vc|1)当0c时，y3(vc)13v(13c)50(3)故y(2)由(1)知，当00，所以y是关于v的减函数，当vc时，ymin50(3).当cv10时，y50(3)，若13c，则y是关于v的增函数，y，故当0c时，在vc时y取最小值为ymin；若13c0，即0c，则0c时，y是关于v的减函数，当v10时，ymin5(313c)c时，y150.在0c时，5(313c)(1031c3c2)(c10)(3c1)0，即5(313c)故当0c时，ymin15515c.综上所述，当0c时，在v10时总淋雨量y有最小值15515c；当c5时，在vc时总淋雨量y有最小值.