2021高中数学北师大版必修四导学案：《从力做功到向量的数量积》.docx

第6课时　从力做功到向量的数量积

1.通过物理中“功”等实例,理解平面对量数量积的含义及其物理意义、几何意义.
2.体会平面对量的数量积与向量投影的关系.
3.把握平面对量数量积的运算律和它的一些简洁应用.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.

一只飞着的天鹅拉着地上的小车行驶在一条笔直的大路上,如图所示,当小车前进了s时,你能算出天鹅对小车所做的功吗?

问题1:　　　　　　(其中θ=<a,b>,称为向量a、b的夹角)叫作向量a、b的数量积(或　　　　),记作a·b,即　　　　　　　. 
把|a|cos θ叫作向量a在b方向上的　　　　. 
如图,OA=a,OB=b,过点A作AA1垂直于直线OB,垂足为A1,则OA1=|a|cos θ.

投影是一个数量,不是向量;当θ为锐角时,它是　　　　值;当θ为钝角时,它是　　　　;当θ=90°时,它是　　　;当θ=0°时,它是　　　　;当θ=180°时,它是　　　　　. 
问题2:向量与物理学中一些矢量的关系
向量是既有　　　　又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点(即与作用点　　　　);力也是既有　　　　又有　　　　的量,且作用于　　　　作用点(即力与作用点　　　　).用向量学问解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上. 
物理学中,速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加、减法运算,而运动的　　　　也用到向量的　　　　;力的做功是力在物体前进方向上的分力与物体　　　　的乘积,它的实质是　　　　　　　　. 
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,即　　　　　　　　　,功是一个　　　　,它可以是　　　、负数或0. 
(2)在解决问题时要留意数形结合.
问题3:向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ,则
(1)a·b=　　　　　(交换律); 
(2)(λa)·b=　　　　　　=　　　　　　　(对实数的结合律); 
(3)(a+b)·c=　　　　　　　(安排律). 
问题4:向量数量积的性质:
(1)假如e是单位向量,则a·e=e·a=　　　　　　　; 
(2)非零向量a,b,a⊥b⇔　　　　　　　　;
(3)a·a=　　　　　或|a|=　　　　　　　　; 
(4)cos<a,b>=　　　　　　　　　　; 
(5)|a·b|≤|a||b|.

1.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为(　　).
A.6　　　　 B.-6　　　　 C.3　　　　 D.-3
2.已知点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若AB⊥a,则实数k的值为(　　).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.已知向量a、b,其中|a|=2,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是　　　　. 
4.设x、y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,求|a+b|.

向量数量积的概念
已知a、b、c是非零向量,有下列三个说法:
(1)若|b|=|c|,则|a·b|=|a·c|;
(2)(a·b)|c|=|a|(b·c);
(3)若|a·b|=|a||b|,则a∥b.
其中正确的个数为(　　).
A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3

向量的夹角与模的运算
已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为120°,求:
(1)(a-b)2;(2)|a+b|.

向量数量积在物理学中的运用
一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.

已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b夹角的大小为　　　　. 

已知|a|=3,|b|=4,|a+b|=21.求:
(1)a·b;
(2)(2a-b)·(3a+b).

一辆汽车在平直大路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为东偏南30°,风速为4 m/s,这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.

1.某人骑自行车的静风速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度的大小为(　　).
A.|v1-v2|　　　 B.|v1+v2|
C.|v1|+|v2| D.|v1||v2|
2.用力F推动一物体水平运动,运动的位移为s,设F与水平面角为θ,则对物体所做的功为(　　).
A.|F|·s B.Fcos θ·s
C.Fsin θ·s D.|F||s|cos θ
3.作用于原点的两个力F1(1,1),F2(2,3),为使它们平衡,需要加力F3=　　　　. 
4.一个物体在力F的作用下产生的位移是s,F与s的夹角是α.
(1)用F、s、α表示力F所做的功W;
(2)用F、s表示W;
(3)当α渐渐增大时,F·s的大小怎样变化,为什么?

(2021年·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=　　　　. 
　　考题变式(我来改编):

答案
第6课时　从力做功到向量的数量积

学问体系梳理
问题1:|a||b|cos θ　内积　a·b=|a||b|cos θ　投影　正　负值　0　|a|　-|a|
问题2:大小　无关　大小　方向　同一　有关　叠加　合成　位移　向量的数量积　(1)W=|F||s|·cos<F,s>　实数　正数
问题3:(1)b·a　a·(λb)　λ(a·b)　a·c+b·c
问题4:(1)|a|cos<a,e>　(3)|a|2　a·a　(4)a·b|a||b|
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1.A　∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,解得k=6.
2.B　AB=(2,3),∵AB⊥a,∴2(2k-1)+3×2=0,∴k=-1.
3.π4　由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2.设a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a|·|b|=22,∴θ=π4.
4.解:∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,
∵b∥c,∴1×(-4)-2y=0,∴y=-2,
∴a=(2,1),b=(1,-2),
∴a+b=(3,-1),∴|a+b|=10.
重点难点探究
探究一:【解析】依据数量积的定义知,当a与b,a与c的夹角不同时,|a·b|≠|a·c|,∴(1)不正确;同理,(2)不正确;而|a·b|=|a||b|且a、b为非零向量,∴a∥b,即(3)正确.故选B.
【答案】B
【小结】(1)两向量的数量积是两个向量之间的乘法,它是一个实数,不是一个向量,其值可以为正,也可以为负,还可以为0.
(2)切记两个向量的数量积及一个向量在另一个向量方向上的投影都是实数.
　　探究二:【解析】a·b=|a||b|cos 120°=3×4×(-12)=-6.
(1)(a-b)2=a2-2a·b+b2=32-2×(-6)+42=37.
(2)|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=32+2×(-6)+42=13.
【小结】(1)向量的数量积是两个向量之间的运算,求向量的模要合理运用|a|=a2.
(2)向量数量积的运算律类似于代数中的两个多项式的乘积,进行运算时合并“同类项”,要留意a2仅仅是一种记号,并不表示平方,即a2=a·a=|a|2,同理b2=|b|2.
　　探究三:

【解析】如图所示,设OA表示水流速度,OB表示船垂直于对岸的速度,OC表示船的实际速度,∠AOC=150°,|AB|=|OC|=5 km/h,由于OB⊥OA,所以|OA|=|AB|·cos 30°=5×32≈4.33 km/h;
|OB|=|AB|·sin 30°=5×12=2.5 km/h.
　　[问题]此题解答正确吗?

[结论]不正确.OC=OA+OB.
于是,正确解答如下:
如图所示,设OA表示水流速度,OB表示船垂直于对岸的速度,OC表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB|=5 km/h.
由于OACB为矩形,所以|OA|=|AC|·1tan30°=|OB|·1tan30°=53≈8.66 km/h,|OC|=|OA|cos30°=5332=10 km/h.
答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.
【小结】1.利用向量解决物理问题的步骤:
①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;
②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;
④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
2.向量在物理应用中的基本题型:
①力、速度、加速度、位移都是向量;
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加与减;
③动量m·v是数乘向量,冲量Δt·F也是数乘向量;
④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.
思维拓展应用
应用一:2π3　cos θ=a·b|a||b|=-33×2=-12,
∵0≤θ≤π,∴θ=2π3.
　　应用二:(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2
=32+2a·b+42=25+2a·b=21,
∴a·b=-2.
(2)(2a-b)·(3a+b)=6a2-a·b-b2
=6×32-(-2)-42=40.
　　应用三:依据物理学问,有三对相对速度,汽车对地的速度为v车地,风对车的速度为v风车,风对地的速度为v风地.
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度,即v风地=v风车+v车地.
如图,依据向量加法的平行四边形法则可知,表示向量v风地的有向线段AD是▱ACDB的对角线.∵AC=4 m/s,∠ACD=30°,AD=2 m/s,∴∠ADC=90°.

在Rt△ADC中,DC=AC·cos 30°=23(m/s).
即风向的实际方向是正南方向,汽车速度的大小为23 m/s.
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1.B　依据题意知v1、v2方向相反,且|v1|>|v2|,逆风行驶的速度为v=v1+v2,故选B.
2.D　由功的定义知W=|F||s|·cos<F,s>=|F||s|cos θ,故选D.
3.(-3,-4)　由题意知F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2)=-[(1,1)+(2,3)]=-(3,4)=(-3,-4).
4.解:(1)W=Fscos α;
(2)W=F·s;
(3)F·s=F·scos α,由于余弦函数在[0,π]上是减函数,所以当α渐渐增大时,F·s渐渐削减.
全新视角拓展
2　依据向量的运算法则,b·c=b·[ta+(1-t)b]=0,即ta·b+(1-t)|b|2=0,从而得到,t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=12t+1-t=0,解得t=2.
思维导图构建
a·b|a|·|b|　|a|cos θ　(a·b)　(λb)　a·c　b·c