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课时提升作业(十六)
一、选择题
1.(2021·崇左模拟)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值是( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
2.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S10等于( )
(A) (B) (C) (D)
3.(2021·长春模拟)在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11等于( )
(A)24 (B)48 (C)66 (D)132
4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3()n,则其前20项和为( )
(A)380-(1-) (B)400-(1-)
(C)420-(1-) (D)440-(1-)
5.(2021·太原模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则=( )
(A) (B) (C) (D)
6.数列{an}的前n项和Sn=3n+b(b是常数),若这个数列是等比数列,那么b
为( )
(A)3 (B)0 (C)-1 (D)1
7.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m=( )
(A)38 (B)20 (C)10 (D)9
8.(力气挑战题)数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则+++…+等于( )
(A)(2n-1)2 (B)(2n-1)2
(C)4n-1 (D)(4n-1)
二、填空题
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3=20-a6,则S8等于 .
10.数列{1+2n-1}的前n项和为 .
11.(2021·南宁模拟)已知数列{an}(n∈N*),其前n项和为Sn,给出下列四个命题:
①若{an}是等差数列,则三点(10,),(100,),(110,)共线;
②若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,则S1,S2,…,Sn这n个数中必定存在一个最大值;
③若{an}是等比数列,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列;
④若Sn+1=a1+qSn(其中常数a1,q≠0),则{an}是等比数列.
其中正确命题的序号是 (将你认为的正确命题的序号都填上).
12.(2021·哈尔滨模拟)在数列{an}中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100= .
三、解答题
13.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求和:
Sn=++…+.
14.等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列{bn}满足bn=,其前n项和为Tn,求证:Tn<(n∈N*).
15.(2021·百色模拟)已知等差数列{an}中,a3+a5=10,{an}的前n项和为Sn,S5=15.
(1)求数列{an}的通项公式an.
(2)设bn=()n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(力气挑战题)已知数列{an}的通项公式是an=n·2n-1,bn=,求数列{bn}的前n项和.
答案解析
1.【解析】选B.由已知a1=19,an+1-an=-3可得
数列{an}是以19为首项,以-3为公差的等差数列.
方法一:故Sn=19n+×(-3)=-n2+n
=-(n-)2+.
所以当n=7时,Sn最大.
方法二:故an=19+(n-1)×(-3)=-3n+22.
令an≥0得-3n+22≥0,n≤.
又∵n∈N*,故n=7.
2.【解析】选D.an==(-),
所以S10=a1+a2+…+a10
=(1-+-+…+-)
=(1+--)=,故选D.
3.【解析】选D.设公差为d,则a1+8d=a1+d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132.
4.【解析】选C.由an=2n-3()n,
得S20=2(1+2+…+20)-3(++…+)
=2×-3×=420-(1-),故选C.
5. 【解析】选C.等差数列{an}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,由于a1,a3,a9恰好构成等比数列,所以有=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以该等差数列的通项为an=nd.则的值为.
6.【思路点拨】依据数列的前n项和减去前n-1项的和得到数列的第n项的通项公式,即可得到此等比数列的首项与公比,依据首项和公比,利用等比数列的前n项和公式表示出前n项的和,与已知的Sn=3n+b对比后,即可得到b的值.
【解析】选C.由于an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列是首项为2,公比为3的等比数列,
则Sn==3n-1,
所以b=-1.
7.【解析】选C.由于{an}是等差数列,所以am-1+am+1=2am,由am-1+am+1-=0,得2am-=0,所以am=2(am=0舍),又S2m-1=38,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.
8.【解析】选D.an=Sn-Sn-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,适合上式,∴an=2n-1(n∈N*),
∴{}是=1,q=22的等比数列,由求和公式得+++…+==(4n-1).
9.【解析】由于a3=20-a6,
所以S8=4(a3+a6)=4×20=80.
答案:80
10.【解析】前n项和Sn=(1+20)+(1+21)+(1+22)+…+(1+2n-1)
=n+=n+2n-1.
答案:n+2n-1
11.【解析】①中设数列{an}的公差为d,由于A(10,),B(100,),C(110,).
则kAB==,
kBC==,即kAB=kBC.
故三点共线,所以①正确.
②中由a3+a7=-6,a1=-11得,-22+8d=-6,
∴d=2>0,故{an}是递增的等差数列,
故Sn无最大值,②错.
③中,当{an}是摇摆数列时,如
{an}为1,-1,1,-1,…时,m取偶数时
Sm=0,故③错.
④中,n≥2时,由已知Sn=a1+qSn-1,
∴Sn+1-Sn=q(Sn-Sn-1),
即an+1=qan,
∴=q.
当n=1时,a2+a1=a1+qa1,故=q,
故{an}为等比数列.
答案:①④
12.【解析】设定值为M,则an+an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.
答案:299
13.【解析】(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,
即d=1.
所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.
(2)由于==,
所以Sn=++…+
=+++…+
==1-.
14.【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11,
2a3=a2+a6-4,
即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得d=2,
则a1=1,故an=2n-1.
(2)由(1)得Sn=n2,∴bn==
==
=(-),
Tn=(-+-+-+…+-+-)
=(+--)<(n∈N*).
15.【解析】(1)在等差数列{an}中,a3+a5=10=2a4,
∴a4=5.
S5=15=5a3,∴a3=3,则等差数列{an}的公差为2.
∴an=2n-3.
(2)bn=()n·an=,
Tn=+++…+,
Tn=+++…++,
Tn=+2·(++…+)-
Tn=-1+(1++++…+)-
=1-.
16.【解析】=
==
=-,k=1,2,3,…,n
故++…+
=(-)+(-)+…+[-]=-
=4-.
【方法技巧】裂项相消法的应用技巧
裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an=bn+1-bn或者an=bn-bn+1或者an=bn+2-bn等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要擅长依据这个基本思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时确定要留意把数列的通项分拆成的两项确定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.
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