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双基限时练(二十四)
基 础 强 化
1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不能确定
解析 题中圆的圆心为(2,3)，半径为1，
则圆心到直线的距离d＝＝1，
∴直线与圆相切．
答案 C
2．直线x＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为( )
A．－1或－3 B.或－
C．1或3 D.
解析 2＝2，∴|a－2|＝1.
∴a＝3，或a＝1.
答案 C
3．已知P是圆(x－3)2＋y2＝1上的动点，则点P到直线y＝x＋1的距离的最小值为( )
A．3 B．2
C．2－1 D．2＋1
解析 圆上的点到直线的最近距离等于圆心到直线的距离减去半径．∵d＝＝2，∴P到直线y＝x＋1的距离的最小值为2－1.
答案 C
4．若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝有两个公共点，则k的取值范围是( )
A．
解析 曲线y＝表示圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半个圆，
如图所示，直线y＝kx＋4＋2k过定点(－2,4)，
当直线过(2,0)时，
k＝＝－1.
当直线与圆在第一象限相切时，k＝－.
∵直线与圆有两个公共点，∴k∈.
答案 B
5．过圆x2＋y2－4x＝0外一点P(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、n应满足的关系是( )
A．(m－2)2＋n2＝4 B．(m＋2)2＋n2＝4
C．(m－2)2＋n2＝8 D．(m＋2)2＋n2＝8
解析 圆x2＋y2－4x＝0的圆心为(2,0)，半径为2.
∵过点P的两条切线相互垂直，
∴由切线及半径组成的四边形为正方形，
∴＝2，∴ (m－2)2＋n2＝8.
答案 C
6．若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1相交，则( )
A．a2＋b2<1 B．a2＋b2>1
C.＋<1 D.＋>1
解析 由题意，圆心到直线的距离小于圆的半径，即<1，∴＋>1.
答案 D
7．经过A(2，－1)和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上的圆的方程为________．
解析 设圆心(a，－2a)，
∴r＝＝，∴a＝1.
∴圆的半径r＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
答案 (x－1)2＋(y＋2)2＝2
8．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1与直线l：x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 圆心C到直线l的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝.
答案
能 力 提 升
9．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有________个．
答案 3个
10．已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：(3a－4)x－y－1＝0，且l1∥l2，求以N(1,1)为圆心，并且与l2相切的圆的方程．
解 ∵l1∥l2，∴当a≠0时，＝－1≠，
∴a＝1，经检验，当a＝0时l1与l2不平行，故a＝0舍去，
∴l2：x＋y＋1＝0，∵圆与l2相切，∴r＝＝.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝.
11．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求证：不论m为何值，圆心总在同一条直线l上．
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？
解 (1)将圆的方程配方得(x－3m)2＋2＝25.设圆心为(x，y)，则
消去m，得x－3y－3＝0.
∴圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．
(2)设与l平行的直线是l′：x－3y＋b＝0，圆心(3m，m－1)到直线l′的距离为d＝＝.
∵半径r＝5，∴当d<r，即－5－3<b<5－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；当d>r时，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．
12．已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．
(1)当直线l过圆心时，求直线l的方程；
(2)当直线l的斜率为1时，求AB的长．
解 (1)圆心C(1,0)，∵直线l过点P(2,2)与圆心，
∴直线l的方程＝，即2x－y－2＝0.
(2)直线l的方程为x－y＝0，
则圆心到直线l的距离为d＝＝.
∵r＝3，∴|AB|＝2 ＝.
品 味 高 考
13．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析 依据平面几何学问，直线AB肯定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率肯定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.
答案 A
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