资源描述
1．(2021·东北三校模拟)在(x2－)5的二项开放式中，其次项的系数为( )
A．10 B．－10
C．5 D．－5
解析：选D.开放式中的其次项为T2＝C(x2)5－1(－)1，所以其系数为－C＝－5.
2．二项式(1－x)4n＋1(n∈N)的开放式中，系数最大的项为( )
A．第(2n＋1)或(2n＋2)项
B．第(2n＋1)项
C．第(2n＋2)项
D．第2n或(2n＋1)项
解析：选B.开放式中共有(4n＋2)项，其中第(2n＋1)项与第(2n＋2)项的系数确定值相等，但第(2n＋1)项的系数为正，而第(2n＋2)项的系数为负，故第(2n＋1)项的系数最大．
3．(2021·黄冈模拟)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝( )
A．i B．－i
C．－1－i D．1＋i
解析：选C.x＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋…＋Cx2 015＝(1＋x)2 015－1＝i2 015－1＝－i－1.
4．已知(x－)8开放式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则开放式中各项系数的和是( )
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28
解析：选C.由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得开放式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
5．(2021·江西临川一中等九校联考)二项式(ax＋)6的开放式的其次项的系数为－，
则x2dx的值为( )
A. B．3
C．3或 D．3或－
解析：选A.二项开放式的其次项T2＝C(ax)5×，则由题意有×Ca5＝－，解得a＝－1，所以x2dx＝x3|＝－－(－)＝.
6．(2021·贵阳市适应性考试)若(2x＋)4(a＞0)的开放式中常数项为96，则实数a等于________．
解析：(2x＋)4的开放式通项为C(2x)4－r()r＝24－rarCx4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2C＝96，
∴a2＝4，∴a＝2.
答案：2
7．(2021·昆明市第一次调研)(＋x)(1－)4的开放式中x的系数是________．
解析：(1－)4开放式的通项公式Tr＋1＝C(－)r＝(－1)rCx，(＋x)(1－)4的开放式中含x的项为·(－1)4Cx2＋x·(－1)0Cx＝·x2＋x·1＝3x，故系数是3.
答案：3
8．(2021·福州质检)在(1－x2)20的开放式中，假如第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，则r＝________．
解析：由题意得，C＝C，故4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，即r＝或r＝4.由于r为整数，故r＝4.
答案：4
9．已知二项式(＋)n的开放式中各项的系数和为256.
(1)求n；
(2)求开放式中的常数项．
解：(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，
即2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项开放式中的第r＋1项为
Tr＋1＝C()8－r·()r＝C·x，
令＝0，得r＝2，
此时，常数项为T3＝C＝28.
10．已知(a2＋1)n开放式中各项系数之和等于的开放式的常数项，而(a2＋1)n开放式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
解：由，得
Tr＋1＝C＝·C·x.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
∴r＝4，∴常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n开放式的各项系数之和等于2n.
由题意得2n＝16，∴n＝4.
由二项式系数的性质知，(a2＋1)4开放式中二项式系数最大的项是中间项T3，
∴Ca4＝54，∴a＝±.
1．(2022·高考浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的开放式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )
A．45 B．60
C．120 D．210
解析：选C.由于f(m，n)＝CC，
所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
2．(2021·山东枣庄模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的开放式中，其次项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是( )
A．(－∞，) B．[，＋∞)
C．(－∞，－] D．(1，＋∞)
解析：选D.二项式(x＋y)9的开放式的通项是
Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意，有，
由此得，
解之得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．
3．(2021·荆州模拟)已知a＝4cos(2x＋)dx，则二项式(x2＋)5的开放式中x的系数为________．
解析：依题意得a＝4cos(2x＋)dx＝2sin(2x＋)＝－2，即a＝－2，则Tr＋1＝C(－2)rx10－3r，当r＝3时，T4＝－80x.故二项式(x2＋)5的开放式中x的系数为－80.
答案：－80
4．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．
解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.
答案：10
5．已知(＋2x)n.
(1)若开放式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求开放式中二项式系数最大项的系数；
(2)若开放式前三项的二项式系数和等于79，求开放式中系数最大的项．
解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，开放式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C()423＝，
T5的系数为C()324＝70，
当n＝14时，开放式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C()727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，
∴
∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴开放式中系数最大的项为T11，
T11＝C·()2·210·x10＝16 896x10.
6．(选做题)某二项开放式中，相邻a项的二项式系数之比为1∶2∶3∶…∶a，求二项式的次数及a的值．
解：设该二项式为(m＋t)n，其二项式系数为C(r＝0，1，2，…，n)．
不妨设C∶C∶C∶…∶C＝1∶2∶3∶…∶a，
由C∶C＝1∶2，得n＝3r＋2；
由C∶C＝1∶3，得＝.
将n＝3r＋2代入上式，得r＝4，进而n＝14，
故有C∶C∶…∶C＝1∶2∶3∶…∶a.
从而C∶C＝(a－1)∶a，解得a＝2或a＝3.
事实上，当a＝2时，C∶C＝1∶2；
当a＝3时，C∶C∶C＝1∶2∶3.
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