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1．数列{an}共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{an}共有( )
A．30个 B．31个
C．60个 D．61个
解析：选A.在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A＝30个不同的数列．
2．(2021·昆明市第一次摸底)从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有( )
A．35种 B．70种
C．84种 D．140种
解析：选B.由题知不同取法有CC＋CC＝70种．
3．(2021·陕西西安检测)某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是( )
A．15 B．45
C．60 D．75
解析：选C.从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，全部的选法种数是C×C＝90.
重点项目A和一般项目B都没有被选中的选法种数是C×C＝30，故重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是90－30＝60.
4．(2021·福建三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中挨次为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )
A．12种 B．20种
C．40种 D．60种
解析：选C.(排序确定用除法)五个元素没有限制全排列数为A，由于要求A，B，C的次序确定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得×2＝40.
5．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为( )
A．24 B．28
C．36 D．48
解析：选D.穿红色衣服的人相邻的排法有CAA＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而红色、黄色同时相邻的有A·A·A＝24种．故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A－2×48＋24＝48种．
6．C＋C＝________．
解析：由组合数的定义得，
解之得4≤n≤5，
∵n∈N*，∴n＝4或n＝5.
当n＝4时，原式＝C＋C＝5，
当n＝5时，原式＝C＋C＝16.
答案：5或16
7．(2021·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为平安起见，首尾确定要排两位爸爸，另外，两个小孩确定要排在一起，则这6人的入园挨次排法种数为________．(用数字作答)
解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；其次步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A＝24(种)．
答案：24
8．(2021·江苏扬州中学检测)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则该数为“驼峰数”．比如：“102”“546”为“驼峰数”，由数字1，2，3，4，5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________．
解析：三位“驼峰数”中1在十位的有A个，2在十位的有A个，3在十位上的有A个，所以全部三位“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋2×3＝30.
答案：30
9．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出竞赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员．
解：(1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有C·C＝120(种)方法．
(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种状况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，
由分类加法计数原理可得总选法数为
CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．
法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C－C＝246(种)．
10．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种状况；其次步，在5个奇数中取4个，有C种状况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种状况．所以符合题意的七位数有CCA＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA＝14 400(个)．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA＝5 760(个)．
1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )
A．150种 B．180种
C．200种 D．280种
解析：选A.依题意5个人支配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1，2，2与1，1，3两种，当人数是1，2，2时，有×A＝90(种)．
当人数是1，1，3时，则有×A＝60(种)，
因此共有90＋60＝150(种)．
2．(2021·浙江温州十校联考)任取三个互不相等的正整数，其和小于100，则由这三个数构成的不同的等差数列共有( )
A．528个 B．1 056个
C．1 584个 D．4 851个
解析：选B.先确定等差数列的中间项，再确定第一、三项．
设这三个成等差数列的数分别为a，b，c.
由题意得a＋b＋c≤100，即3b≤100，得b可以取2，3，…，33，共32个数．
第一类，b＝2时，a，c的取值共有2个(a＝1，c＝3和a＝3，c＝1，对应的是两个数列)；
其次类，b＝3时，a，c的取值共有4个；
…
第三十二类，b＝33时，a，c的取值共有64个．
依据分类加法计数原理，可得满足题意的数列共有2＋4＋…＋64＝1 056个．
3．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)
解析：3个人各站一级台阶有A＝210(种)站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有CA＝126(种)站法，共有210＋126＝336(种)站法．
答案：336
4．(2021·山东潍坊五校联考)数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示其次、三行中的最大数，则满足N1＜N2＜N3的全部排列的个数是________．
解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，支配6有C＝3种方法，第三行中剩下的两个空位支配数字有A＝20种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数支配在其次行，有C＝2种方法，剩下的两个数字有A＝2种排法，按分步乘法计数原理，全部排列的个数是CACA＝240.
答案：240
5．依据下列要求，求分别有多少种不同的方法？
(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；
(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有一个小球．
解：(1)每个小球都有4种方法，依据分步乘法计数原理共有46＝4 096(种)不同方法．
(2)分两类：第1类，6个小球分3，1，1，1放入盒中；第2类，6个小球分2，2，1，1放入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．
6．(选做题) 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图所示)．
(1)图中共有多少个矩形？
(2)从A点到B点最近的走法有多少种？
解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C·C＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，确定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C＝C＝210(种)走法(同样可从10段中选4段走南北方向，每种选法即是1种走法)．所以共有210种走法．
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