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双基限时练(二十三)
基 础 强 化
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．
答案 D
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析 圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程为
(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．
∵直线过圆心，
∴将(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，可得a＝1.
答案 B
3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.
解析 方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
答案 A
4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0肯定不经过( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 圆心(a，－b)，∵圆心位于第三象限，则a<0，b>0.
直线y＝－x－，k＝－>0，－>0.
∴直线不经过第四象限．
答案 D
5．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
解析 直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝.
∴C到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC的最小值为×|AB|×＝×2×＝3－.
答案 A
6．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，
∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A.
答案 A
7．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程是________．
解析 直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．
答案 x＋y－4＝0
8．假如直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
解析 直线l经过圆心(1,2)，由于直线l不经过第四象限，故直线绕点(1,2)在直线l1与l2之间转动，如图所示，
∵l1的斜率为2，l2的斜率为0，故直线l的斜率的取值范围为．
答案
能 力 提 升
9．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
解析 该圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，∴F＝4.
答案 4
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．
(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若点P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．
解 (1)∵点P在圆C上，
∴m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，
整理得(m－4)2＝0，∴m＝4，∴点P(4,5)，
∴|PQ|＝＝2.
kPQ＝＝＝.
(2)圆C的圆心C为(2,7)，
|CQ|＝＝4.
∵圆C的半径为2，
∴|PQ|的最大值为6，最小值为2.
11．已知x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)若圆的直径为6，求t的值．
解 (1)∵方程表示一个圆，则有D2＋E2－4F＞0，
∴(t＋1)2＋t2－4(t2－2)＞0，
∴2t＞－9，即t＞－.
(2)由条件知，圆的半径是3，
∴3＝.
∴2t＋9＝36.∴t＝＞－.即t＝.
12．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
解 设动点P的坐标为(x，y)，依据题意可知AP⊥OP.
当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)．
当x＝0时，y＝0.
当x≠1且x≠0时，kAP·kOP＝－1.
∵kAP＝，kOP＝，∴×＝－1，
即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．
点(1,0)，(0,0)适合上式．
综上所述，P点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
品 味 高 考
13．若点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．
答案 (x－2)2＋(y－2)2＝10
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