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3.3.2 函数的极值与导数
课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、微小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a四周其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a四周的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b四周其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b四周的左侧__________，右侧__________．
我们把点a叫做函数y＝f(x)的____________，f(a)叫做函数y＝f(x)的__________；点b叫做函数y＝f(x)的________________，f(b)叫做函数y＝f(x)的__________．微小值点、极大值点统称为__________，极大值和微小值统称为________．极值反映了函数在____________________的大小状况，刻画的是函数的________性质．
2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“确定”或“不愿定”)是函数的极值点．
3．一般地，求可导函数f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)假如在x0四周的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是__________；
(2)假如在x0四周的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是__________；
(3)假如f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)____________．
一、选择题
1. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个微小值点
B．有三个极大值点，两个微小值点
C．有两个极大值点，两个微小值点
D．有四个极大值点，无微小值点
2．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在微小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
3．函数f(x)＝x＋在x>0时有( )
A．微小值
B．极大值
C．既有极大值又有微小值
D．极值不存在
4．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有微小值点( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个微小值，则( )
A．0<b<1 B．b<1 C．b>0 D．b<
6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和微小值，则a的取值范围为( )
A．－1<a<2 B．－3<a<2
C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.
8．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
9．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，微小值为负数，则a的取值范围是________．
三、解答题
10．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝xe－x.
11．设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
力气提升
12．已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a<b)．
(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.
证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种挨次排列后构成等差数列，并求x4.
1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．
2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．
3．3.2 函数的极值与导数
答案
学问梳理
1．f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0 微小值点 微小值 极大值点 极大值 极值点 极值 某一点四周 局部
2．导数为零 不愿定
3．(1)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值 (2)f′(x)<0 f′(x)>0 微小值 (3)不是极值
作业设计
1．C
2．C [∵f(x)在x＝1处存在微小值，
∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0.]
3．A [∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，
得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.
由得0<x<1，即在(0,1)内f′(x)<0，
在(1，＋∞)内f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有微小值．]
4．A [f(x)的微小值点左边有f′(x)<0，微小值点右边有f′(x)>0，因此由f′(x)的图象知只有1个微小值点．]
5．A [f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有微小值，则，即，
解得0<b<1.]
6．D [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a2－12(a＋6)>0时，图象与x轴的左交点两侧f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f′(x)的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和微小值．
∴4a2－12(a＋6)>0得a>6或a<－3.]
7．3
解析 f′(x)＝＝.
∵f′(1)＝0，∴＝0，∴a＝3.
8．1 －3
解析 由于f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0. ①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2. ②
由①②解得a＝1，b＝－3.
9.
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a或x<－a，f′(x)<0时，得－a<x<a.
∴当x＝a时，f(x)有微小值，x＝－a时，f(x)有极大值．
由题意得：解得a>.
10．解 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
微小值
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)有微小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝.
11．解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6.
由于x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m，
即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)由于当x<1时，f′(x)>0；
当1<x<2时，f′(x)<0；
当x>2时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取微小值f(2)＝2－a，
故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．
解得a<2或a>.
12．(1)解 当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，
由于f′(x)＝(x－1)(3x－5)，
故f′(2)＝1，又f(2)＝0，
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.
(2)证明 由于f′(x)＝3(x－a)(x－)，
由于a<b，故a<，
所以f(x)的两个极值点为x＝a，x＝.
不妨设x1＝a，x2＝，
由于x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，
故x3＝b.
又由于－a＝2(b－)，
x4＝(a＋)＝，
此时a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4＝.
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