(北师大版)数学必修1同步测试：第2章测试题.docx

其次章测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，在(－∞，0)上为递增的是(　　)
A．f(x)＝－2x＋1　　　　 B．g(x)＝|x－1|
C．y＝ D．y＝－
[答案]　D
[解析]　生疏简洁函数的图像，并结合图像推断函数单调性，易知选D.
2．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是(　　)

[答案]　B
[解析]　选项B中，当x取某一个值时，y可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．
3．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A．[2,3) B．(3，＋∞)
C．[2,3)∪(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
[答案]　C
[解析]　要使函数有意义，
x需满足解得x≥2且x≠3.故选C.
4．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值状况是(　　)
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
[答案]　C
[解析]　由于二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．
5．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f作用下的像是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　A
[解析]　由已知可得解得
于是y＝x－2，因此5在f下的像是5－2＝3.
6．若函数f(x)＝那么f(－3)的值为(　　)
A．－2 B．2
C．0 D．1
[答案]　B
[解析]　依题意有f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，即f(－3)＝2.
7．不论m取何值，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图像总过的点是(　　)
A．(1,3) B．(1,0)
C．(－1,3) D．(－1,0)
[答案]　A
[解析]　由题意知x2＋2x－y＋m(1－x)＝0恒成立，
∴，解得，
∴图像总过点(1,3)．
8．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间上确定是减函数的是(　　)
A．[3,4] B．[1,2]
C．[2,3] D．[－1,0]
[答案]　A
[解析]　偶函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f(x)向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．
9．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则(　　)
A．f(3)＋f(4)<0 B．f(－3)－f(－2)<0
C．f(－2)＋f(－5)<0 D．f(4)－f(－1)>0
[答案]　D
[解析]　由题意知函数f(x)在[0,6]上递增．
A中f(3)＋f(4)与0的大小不定，A错；
B中f(－3)－f(－2)＝f(3)－f(2)>0，B错；
C中f(－2)＋f(－5)＝f(2)＋f(5)与0的大小不定，C错；
D中f(4)－f(－1)＝f(4)－f(1)>0，D正确．
10．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为(　　)
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(－∞，0) D．[0，)
[答案]　D
[解析]　∵函数的定义域为R，
∴kx2＋4kx＋3恒不为零，则k＝0时，成立；
k≠0时，Δ<0，也成立．
∴0≤k<.
11．函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则＋－的值是(　　)
A．－1 B．1
C. D．－
[答案]　A
[解析]　∵函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a＋b＋c＝0，

即a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b.
∴＋－＝－1.
12．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<，∴选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．
[答案]　y＝x2＋4x＋2
[解析]　y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2
＝x2＋4x＋2.
14．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
[答案]　0
[解析]　本题考查偶函数的定义等基础学问．
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|x－a|＝|x＋a|，平方，整理得：ax＝0，
要使x∈R时恒成立，则a＝0.
15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
3
1

x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________；
当g[f(x)]＝2时，x＝________.
[答案]　1　1
[解析]　f[g(1)]＝f(3)＝1，
∵g[f(x)]＝2，
∴f(x)＝2，∴x＝1.
16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有________个．
[答案]　3
[解析]　依据定义，满足函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y＝2x2＋1，x∈{0，}；y＝2x2＋1，x∈{0，－}，y＝2x2＋1，x∈{－，0，}共3个．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知f(x)＝，
(1)画出f(x)的图像；
(2)求f(x)的定义域和值域．
[分析]　解答本题可分段画出图像，再结合图像求函数值域．
[解析]　(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．

(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－3,3]．
(1)当a＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数．
[解析]　(1)当a＝－5时，f(x)＝x2＋10x＋2＝(x＋5)2－23，x∈[－3,3]，
又由于二次函数开口向上，且对称轴为x＝－5，
所以当x＝－3时，f(x)min＝－19，
当x＝3时，f(x)max＝41.
(2)函数f(x)＝(x－a)2＋2－a2的图像的对称轴为x＝a，由于f(x)在[－3,3]上是单调函数，
所以a≤－3或a≥3.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
[解析]　(1)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2.
则f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)
＝－＝.
∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.
∴<0.∴f(x1)<f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又∵f(x)在[，2]上是增加的，
∴即
∴a＝.
20．(本小题满分12分)已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，满足：
(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
[解析]　由{x|－2<x<2，x∈Z}＝{－1,0,1}．
(1)由－2m2－m＋3>0，
∴2m2＋m－3<0，∴－<m<1，∴m＝－1或0.
由(2)知f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2为偶函数，舍去．
当m＝0时，f(x)＝x3为奇函数．
∴f(x)＝x3.
当x∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数，
∴f(x)的值域为[0,27]．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

(3)求函数的值域．
[解析]　(1)证明：∵定义域关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
依据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图
函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2]．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋x3，x∈R.
(1)推断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若a，b∈R，且a＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小．
[解析]　(1)函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数，
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝(x1＋x)－(x2＋x)＝(x1－x2)＋(x－x)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x＋1)
＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x＋1]．
由于x1<x2，所以x1－x2<0，(x1＋x2)2＋x＋1>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数．
(2)由a＋b>0，得a>－b，由(1)知f(a)>f(－b)，
由于f(x)的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x－x3
＝－(x＋x3)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.