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开卷速查(六十五) 古典概型
A级 基础巩固练
1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )
A. B. C. D.
解析：复数(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，则n2－m2＝0⇒m＝n，而投掷两颗骰子得到点数相同的状况只有6种，所以所求概率为＝.
答案：C
2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为( )
A. B． C. D.
解析：试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36个基本大事．大事：点P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本大事，故P＝＝.
答案：A
3．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )
A. B． C. D.
解析：∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.
基本大事总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P＝＝，故选A.
答案：A
4．一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，若从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )
A. B． C. D.
解析：从袋中任取两个球，其一切可能结果有
(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P＝.
答案：C
5．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )
A. B． C. D.
解析：易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为＝，故选C.
答案：C
6．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )
A. B． C. D.
解析：由题可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种状况，所以满足条件的共有30种状况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为＝.
答案：B
7．从某学习小组的10名同学中选出3名同学参与一项活动，其中甲、乙两名同学都被选中的概率是__________．
解析：从10名同学中选出3名同学有C＝＝120种选法，其中甲、乙两名同学都被选中有C＝8种选法，因此甲、乙两名同学都被选中的概率是＝.
答案：
8．曲线C的方程为＋＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，大事A＝“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝__________.
解析：试验中所含基本大事个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m＞n，又只剩下一半状况，即有15种，因此P(A)＝＝.
答案：
9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中毁灭乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为__________．
解析：记“生产中毁灭甲级品、乙级品、丙级品”分别为大事A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案：0.96
10．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解析：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本大事为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本大事的毁灭是等可能的．
用A表示“都是甲类题”这一大事，则A包含的基本大事有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本大事同(1)，用B表示“不是同一类题”这一大事，则B包含的基本大事有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝.
B级 力气提升练
11．小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋．玩耍规章为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．
(1)写出数量积X的全部可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解析：(1)X的全部可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故全部可能的状况共有15种．
所以小波去下棋的概率为p1＝；
由于去唱歌的概率为p2＝，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－＝.
12．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身凹凸于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解析：(1)从身凹凸于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本大事的毁灭是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的大事有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本大事的毁灭是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的大事有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P＝.
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