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开卷速查(三十三) 不等关系与不等式
A级 基础巩固练
1．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．a2＞b2 B.＜1
C．lg(a－b)＞0 D.a＜b
解析：当a＝－1，b＝－2时，a2＜b2，＞1，lg(a－b)＝0，排解A项，B项，C项，故选D.
答案：D
2．设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由不等式性质知当x≥1且y≥2时，x＋y≥3；而当x＝2，y＝时满足x＋y≥3，但不满足x≥1且y≥2，故“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的充分而不必要条件．
答案：A
3．已知a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．a2－b2≥0 B.ac＞bc
C．|a|＞|b| D.2a＞2b
解析：A项中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B项不成立；当0＞a＞b时，C项不成立；由a＞b知2a＞2b成立，故选D.
答案：D
4．已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的有( )
A．1个 B.2个
C．3个 D.4个
解析：运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案：C
5．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不愿定能成立的是( )
A.＜ B.＞0
C.＜ D.＜0
解析：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴＜，＞0，＜0，但b2与a2的关系不确定，故＜不愿定成立．选C项．
答案：C
6．若＜＜0，则下列不等式：
①＜； ②|a|＋b＞0；
③a－＞b－； ④lna2＞lnb2.
其中，正确的不等式是( )
A．①④ B.②③
C．①③ D.②④
解析：由于＜＜0，所以可取a＝－1，b＝－2.
＝－，＝，故①成立；
又|a|＋b＝1－2＝－1＜0，故②错误；
又a－＝0，b－＝－＜0，故③成立；
又lna2＝0，lnb2＝ln22＞0，故④错误，选C.
答案：C
7．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是__________．
解析：∵4≤≤9，∴≤≤，∴≤≤.
又∵3≤xy2≤8，而＝＝，且≤xy2·≤，∴2≤≤27.
答案：27
8．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个式子中，恒成立的全部不等式的序号是__________．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．
又∵＝＝－1，＝＝－1，∴＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
9．对于实数a，b，c有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则＞；⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.其中真命题是__________(把正确命题的序号写在横线上)．
解析：若c＞0，则①不成立；
由ac2＞bc2知c2≠0，则a＞b，②成立；
由a＜b＜0知a2＞ab＞b2，③成立；
由c＞a＞b＞0，得0＜c－a＜c－b，则＞，则＞，④成立；
若a＞b，－＝＞0，则a＞0，b＜0，⑤成立．
答案：②③④⑤
10．若实数a、b、c满足b＋c＝5a2－8a＋11，b－c＝a2－6a＋9，试比较a、b、c的大小．
解析：∵b－c＝a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，
∴b≥c.
由
由①＋②得b＝3a2－7a＋10，
∵b－a＝3a2－7a＋10－a
＝3a2－8a＋10
＝32＋＞0，
∴b＞a.
由①－②得c＝2a2－a＋1，
∴c－a＝2a2－2a＋1＝22＋＞0，
∴c＞a.综上：b≥c＞a.
B级 力气提升练
11．若a、b∈R，则下列不等式：
①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中确定成立的是( )
A．①②③ B.①②④
C．①② D.②④
解析：①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0；
②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；
③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，
若a＝b，则上式＝0，不成立；
④若a＜0，则a＋＜0.
∴①②确定成立，故选C.
答案：C
12．已知a、b、c∈R，则下列推理：
①＞⇒a＞b；②a3＞b3，ab＞0⇒＜；③a2＞b2，ab＞0⇒＜；④0＜a＜b＜1⇒loga(1＋a)＞logb.
其中正确的个数是( )
A．1个 B.2个
C．3个 D.4个
解析：由＞可知c2＞0，
∴·c2＞·c2，即a＞b，∴①正确．
由a3＞b3，ab＞0，可得
a＞b＞0或b＜a＜0，∴＜，∴②正确．
由a2＞b2，ab＞0可得a＞b＞0或a＜b＜0，
a＞b＞0时，＜，但a＜b＜0时，＞，故③不正确．
∵0＜a＜b＜1，∴loga(1＋a)＞logb(1＋a)．
又∵logb(1＋a)－logb＝logb(1－a2)＞0，
∴logb(1＋a)＞logb，
∴loga(1＋a)＞logb，故④正确，故选C.
答案：C
13．已知x，y为正实数，满足1≤lgxy≤2,3≤lg≤4，求lg(x4y2)的取值范围．
解析：设a＝lgx，b＝lgy，则lgxy＝a＋b，
lg＝a－b，lgx4y2＝4a＋2b，
设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
∴解得
∴lgx4y2＝3lgxy＋lg.
∵3≤3lgxy≤6,3≤lg≤4，
∴6≤lg(x4y2)≤10.
14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a＞b＞c，求的取值范围．
解析：∵f(1)＝0，
∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．
又a＞b＞c，
∴a＞－(a＋c)＞c，且a＞0，c＜0.
∴1＞－＞，即1＞－1－＞.
∴
解得－2＜＜－.
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