资源描述
开卷速查(二十七) 数系的扩充与复数的引入
A级 基础巩固练
1．[2022·重庆]复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D.第四象限
解析：复数i(1－2i)＝2＋i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限．
答案：A
2．[2022·山东]已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B.5＋4i
C．3－4i D.3＋4i
解析：依据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
答案：D
3．[2022·安徽]设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B.－2i
C．2 D.2i
解析：由于z＝1＋i，所以＋i·＝(－i＋1)＋i＋1＝2.
答案：C
4．[2022·天津]i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B.－1＋i
C.＋i D.－＋i
解析：＝＝＝1－i.选A.
答案：A
5．[2022·湖南]满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D.－－i
解析：去掉分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝－i，选B.
答案：B
6．[2022·江西]是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i是虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i B.－1－i
C．－1＋i D.1－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z＋＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.
答案：D
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
解析：由于＝b＋i，所以2－ai＝b＋i.由复数相等的充要条件得b＝2，a＝－1，
故a＋b＝1.
答案：1
8．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为__________．
解析：由题意可知＝＝.
答案：
9．若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z等于__________．
解析：∵ (1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，∴z＝＝＝1－2i.
答案：1－2i
10．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)与复数2－12i相等；
(2)与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)对应的点在x轴上方．
解析：(1)依据复数相等的充要条件得
解得m＝－1.
(2)依据共轭复数的定义得
解得m＝1.
(3)依据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m＞5.
B级 力气提升练
11．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
A
B
C
D
解析：由题图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故A正确．
答案：A
12．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为__________．
解析：|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝＝.
答案：
13．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
解析：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.
14．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得2＜a＜6.
∴实数a的取值范围是(2,6)．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
