2021高中数学-1.5.1曲边梯形的面积-1.5.2汽车行驶的路程-学案(人教A版选修2-2).docx

15定积分的概念15.1曲边梯形的面积15.2汽车行驶的路程学习目标1.了解定积分的实际背景2了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法(难点)3会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(重点)学法指导1.“以直代曲”的思想：用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积2“以不变代变”的思想：变速直线运动的路程问题接受“以不变代变”的思想，转化为求匀速直线运动的路程问题，也可转化为求曲边梯形的面积.同学用书P301连续函数与曲边梯形(1)连续函数假如函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数(2)曲边梯形把由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形2曲边梯形的面积与变速直线运动的路程(1)求曲边梯形面积的步骤：分割：如图将a，b分割，等分成n个小区间每个小区间的长度为x近似代替：将所分的每一个小曲边梯形的面积用小矩形面积近似代替，其中ixi1，xi求和：由知SnSi，当n时，SnS.取极限：由得SSn.(2)假如物体做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以接受分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内的路程s.1推断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程()(2)利用“以直代曲”思想求出的曲边梯形的面积是近似值()(3)利用求和符号计算(n1)40.()答案：(1)(2)(3)2把区间1,3n等分，所得n个小区间的长度均为()A. BC D答案：B3函数f(x)x2在区间上()Af(x)的值变化很小 Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小答案：D4已知某物体运动的速度v2t1，t0,10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_答案：100 求曲边梯形的面积求抛物线f(x)1x2与直线x0，x1，y0所围成的平面图形的面积S.(链接教材P3941)解(1)分割把区间0,1等分成n个小区间(i1,2，n)，其长度x，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为Si(i1,2，n)(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积Sifx(i1,2，n)(3)求和Si .(4)取极限S 1 21 1.方法归纳(1)求曲边梯形的面积时要依据分割近似代替求和取极限这四个步骤进行(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：123n，1222n2等1用曲边梯形面积的计算方法求由直线x0，x1，y0及直线y3x所围成图形的面积解：(1)分割：把区间0,1等分成n个小区间(i1,2，n)，其长度为x.把梯形分成n个小梯形，其面积记为Si(i1,2，n)(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积Sif()x3(i1)(i1,2，n)(3)求和：Si(i1)12(n1)(1)(4)取极限：S(i1) (1).故所求面积等于.求汽车行驶的路程一辆汽车在笔直的大路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)t25(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0t2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)(链接教材P4244)解(1)分割：在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i1,2，n)，t，把汽车在时间段，上行驶的路程分别记为s1，s2，sn，则有snsi(i1,2，n)(2)近似代替：取i(i1,2，n)，siv()t(i1,2，n)(3)求和：snsi10(1222n2)10108(1)(1)10.(4)取极限：ssn.因此，行驶的路程为 km.方法归纳把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的问题，接受的方法照旧是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好的体会后面所要学习的定积分的概念2已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间0，t内物体下落的距离解：(1)分割将时间区间0，t分成n等份把时间0，t分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段tt，在各小区间物体下落的距离记作si(i1,2，n)(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在上任取一时刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t内所经过的距离可近似表示为sigt(i1,2，n)(3)求和snsit012(n1)gt2(1)(4)取极限s gt2(1)gt2.易错警示搞错区间端点致误求由抛物线y2x2与直线x0，xt(t0)，y0所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，t等分成n个小区间，则第i1个区间为()A. BC D解析每个小区间长度为，故第i1个区间的左端点为0(i2)，右端点为.答案D错因与防范1.解决本题易错误地认为区间左端点为，从而误选C2在将区间0,1等分成n个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为，依次类推，第i个小区间的左端点为.3在求直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边三角形的面积时，把区间0,2等分成n个小区间，则第i个小区间是()A. B.C D解析：选C将区间0,2等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.单独成册学业水平训练1下列函数在其定义域上不是连续函数的是()Ayx2 By|x|Cy Dy解析：选D由于函数y的定义域为(，0)(0，)，故其图象不是连续不断的曲线2在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值()A可以是左端点的函数值f(xi)B可以是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内的任一函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确解析：选D由于当n很大，即x很小时，在区间xi，xi1上，可以认为函数f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值(含端点函数值)3直线y2x1与直线x0，xm，y0围成图形的面积为6，则正数m()A1 B2C3 D4解析：选B.由题意，直线围成梯形的面积为S(12m1)m6，解得m2，m3(舍去)4对于由直线x1，y0和曲线yx3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A. B.C D解析：选A.将区间0,1三等分为，各小矩形的面积和为s103()3()3.5在求由曲线y与直线x1，x3，y0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积Si约等于()A. B.C D解析：选A.每个小区间长度为，第i个小区间为，因此第i个小曲边梯形的面积Si.6假如汽车做匀变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(单位：km/h)，则该汽车在1t2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是_解析：围成该图形的直线和曲线分别是t1，t2，v0，vt22.答案：t1，t2，v0，vt227在区间0,8上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为_，第5个小区间是_解析：在区间0,8上插入9个等分点后，把区间0,810等分，每个小区间的长度为，第5个小区间为.答案：8物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间2,8内物体运动的路程时，把区间6等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个i均取值为小区间的右端点)为_km.解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得所求近似值为s(232425262728)166(km)答案：669利用分割，近似代替，求和，取极限的方法求函数y1x，x1，x2的图象与x轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证解：f(x)1x在区间1,2上连续，将区间1,2分成n等份，则每个区间的长度为xi，在xi1，xi上取ixi11(i1,2,3，n)，于是f(i)f(xi1)112，从而Sn(i)xi(2)()n012(n1)22.则SSn ().如下进行验证：如图所示，由梯形的面积公式得：S(23)1.10汽车以v(3t2) m/s做变速直线运动时，求在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程解：将1,2n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则t，v(i)v32(i1)5.sn55.ssn56.5.高考水平训练1在等分区间的状况下，f(x)(x0,2)及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是()A.B.CD解析：选B.将区间n等分后，每个小区间的长度为x，第i个小区间为(i1,2,3，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为.2设函数f(x)的图象与直线xa，xb及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积已知函数ysin nx在(nN*)上的面积为，则ysin 3x在上的面积为_解析：由于ysin nx在(nN*)上的面积为，则ysin 3x在上的面积为.而ysin 3x周期为，所以ysin 3x在上的面积为2.答案：3求由抛物线yx2与直线y4所围成的图形的面积解：yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求图形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影由得交点为(2,4)如图，先求由直线x0，x2，y4和曲线yx2围成的图形的面积(1)分割将区间0,2n等分，则x，则i.(2)近似代替、求和Sn2122232(n1)2(1)(1)(3)取极限SSn (1)(1).S阴影24.2S阴影，即抛物线yx2与直线y4所围成的图形的面积为.4一辆汽车做变速直线运动，汽车在时刻t的速度v(t)，求汽车在t1到t2这段时间内运动的路程解：(1)分割：将区间1,2n等分，则第i个小区间为(i1,2,3，n)，每个小区间的长度为t.(2)近似代替：每个小曲边梯形的面积近似为Siv()t6()2(i1,2,3，n)(3)求和：6n6n3.(4)取极限：S33.所以汽车在t1到t2这段时间内运动的路程为3.