1、开卷速查(四十五)空间向量及其运算A级基础巩固练1有下列4个命题:若pxayb,则p与a、b共面;若p与a、b共面, 则pxayb;若xy,则P、M、A、B共面;若P、M、A、B共面,则xy.其中真命题的个数是()A1个B2个C3个D4个解析:正确中若a,b共线,p与a不共线,则pxayb就不成立正确中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则xy不正确答案:B2在空间四边形ABCD中,()A1 B0C1D不确定解析:如图,选取不共面的向量,为基底,则原式()()()0.答案:B3平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量、两两的夹角均为60,且|1,|2,|3,则|等于()A5 B6C4D8解析
2、:设a,b,c,则abc,2a2b2c22ab2bc2ca25,因此|5.答案:A4平行六面体ABCDABCD中,若x2y3z,则xyz()A1BC. D.解析:x2y3z,故x1,y,z,xyz1. 答案:B5若A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足0,0,0,M为BC中点,则AMD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形D不确定解析:M为BC中点,()()0.AMAD,AMD为直角三角形答案:C6已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,4B,4C.,2,4D4,15解析:,0,即352z0,得z4.又BP平面ABC,
3、BPAB,BPBC,(3,1,4),则解得答案:B7若向量a(1,2),b(2,1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则_.解析:由已知得,83(6),解得2或.答案:2或8已知a(1t,1t,t),b(2,t,t),则|ba|的最小值为_解析:ba(1t,2t1,0),|ba|,当t时,|ba|取得最小值.答案:9如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若(),则_.解析:如图所示,取AC的中点G,连接EG、GF,则(),. 答案:10如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为BC1D的重心,(1)试证:A1,G,C三点共线;(2)试证:A1C平面BC1D
4、.证明:(1),可以证明:(),即A1,G,C三点共线(2)设a,b,c,则|a|b|c|a,且abbcca0,abc,ca,(abc)(ca)c2a20,因此,即CA1BC1,同理CA1BD,又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线,故A1C平面BC1D.B级力气提升练11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在上且,N为B1B的中点,则|为()A.aBaC.a D.a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z)点M在上且,(xa,y,z)(x,ay,az),xa,y,z,得M,|a. 答案:A122021衡水
5、模拟如图所示,在空间直角坐标系中,BC2,原点O是BC的中点,点A的坐标是,点D在平面yOz上,且BDC90,DCB30.(1)求向量的坐标;(2)设向量和的夹角为,求cos的值解析:(1)如图所示,过D作DEBC,垂足为E,在RtBDC中,由BDC90,DCB30,BC2,得BD1,CD.所以DECDsin30,OEOBBDcos601.所以D点坐标为,即向量的坐标为.(2)依题意知,(0,1,0),(0,1,0)所以,(0,2,0)则cos.13如图,在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AEBFx,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E、F的坐标;(2)求证:A1FC1E;(3)若A1、E、F、C1四点共面,求证:.解析:(1)E(a,x,0),F(ax,a,0)(2)证明:A1(a,0,a)、C1(0,a,a),(x,a,a),(a,xa,a),axa(xa)a20,A1FC1E.(3)证明:A1、E、F、C1四点共面,、共面选与为一组基向量,则存在唯一实数对(1,2),使12,即(x,a,a)1(a,a,0)2(0,x,a)(a1,a1x2,a2),解得1,21.于是.