《状元之路》2022届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分-开卷速查45-空间向量及其运算.docx

开卷速查(四十五)　空间向量及其运算
A级　基础巩固练
1．有下列4个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
②若p与a、b共面， 则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则＝x＋y.
其中真命题的个数是(　　)
A．1个　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①正确．②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．
答案：B
2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．不确定
解析：如图，选取不共面的向量，，为基底，

则原式＝·(－)＋·(－)＋·(－)
＝·－·＋·－·＋·－·＝0.
答案：B
3．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)
A．5 B．6
C．4 D．8
解析：设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.
答案：A
4．平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，若＝x＋2y－3z′，则x＋y＋z＝(　　)
A．1 B．
C. D.
解析：＝＋
＝＋＋
＝＋＋
＝x＋2y－3z，

故x＝1，y＝，z＝－，
∴x＋y＋z＝1＋－＝.
答案：B
5．若A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：∵M为BC中点，∴＝(＋)．
∴·＝(＋)·
＝·＋·
＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
答案：C
6．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)
A.，－，4 B．，－，4
C.，－2,4 D．4，，－15
解析：∵⊥，∴·＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4.
又BP⊥平面ABC，
∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，
则解得
答案：B
7．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝__________.
解析：由已知得＝＝，
∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.
答案：－2或
8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为__________．
解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|＝＝，
∴当t＝时，|b－a|取得最小值.
答案：

9．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若＝λ(＋)，则λ＝________.
解析：如图所示，取AC的中点G，
连接EG、GF，

则＝＋＝(＋)，
∴λ＝.
答案：

10．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证：A1，G，C三点共线；
(2)试证：A1C⊥平面BC1D.
证明：(1)＝＋＋＝＋＋，
可以证明：＝(＋＋)＝，
∴∥，即A1，G，C三点共线．
(2)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，
因此⊥即CA1⊥BC1，
同理CA1⊥BD，
又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，
故A1C⊥平面BC1D.
B级　力气提升练
11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A.a B．a
C.a D.a

解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，
N.设M(x，y，z)．
∵点M在上且＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝，得M，
∴||＝
＝a.
答案：A

12．[2021·衡水模拟]如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．
解析：(1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，

在Rt△BDC中，由∠BDC＝90°，
∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝.
所以DE＝CD·sin30°＝，
OE＝OB－BD·cos60°＝1－＝.
所以D点坐标为，
即向量的坐标为.
(2)依题意知，＝，＝(0，－1,0)，＝(0,1,0)．
所以＝－＝，
＝－＝(0,2,0)．
则cosθ＝
＝
＝＝－.

13．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.
(1)写出点E、F的坐标；
(2)求证：A1F⊥C1E；
(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：＝＋.
解析：(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．
(2)证明：∵A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，
∴⊥，∴A1F⊥C1E.
(3)证明：∵A1、E、F、C1四点共面，
∴、、共面．
选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，
∴解得λ1＝，λ2＝1.
于是＝＋.