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开卷速查(九) 对数与对数函数
A级 基础巩固练
解析：a＝2∈(0,1)，b＝log2∈(－∞，0)，c＝log＝log23∈(1，＋∞)，所以c＞a＞b.
答案：C
2．[2022·天津]函数f(x)＝log (x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由于函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.
答案：D
3．函数y＝ln的图像为( )
A
B
C
D
解析：易知2x－3≠0，即x≠，排解C，D.当x＞时，函数为减函数，当x＜时，函数为增函数，所以选A.
答案：A
4．若f(x)＝则f(log23)＝( )
A．－23 B．11
C．19 D．24
解析：∵1＜log23＜2，
∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
答案：D
5．已知函数f(x)＝log|x－1|，则下列结论正确的是( )
A．f＜f(0)＜f(3)
B．f(0)＜f＜f(3)
C．f(3)＜f＜f(0)
D．f(3)＜f(0)＜f
解析：依题意得f(3)＝log2＝－1<0，log2<f＝log<log1，即－1<f<0，又f(0)＝log1＝0，因此有f(3)<f<f(0)．
答案：C
6．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.
答案：C
7．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋a2)的图像关于x＝2对称，则a的值为__________．
解析：由题意f(x)＝f(4－x)，∴x2－ax＋a2＝(4－x)2－a(4－x)＋a2，整理得a＝4.
答案：4
8．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a＞b＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a＝b.
其中可能的关系式是__________．
解析：由已知得log2a＝log3b，在同一坐标系中作出y＝log2x，y＝log3x的图像，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能．
答案：②④⑤
9．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．
解析：当x∈(－∞，0)时，则－x∈(0，＋∞)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)
∴f(x)＝
由f(x)＜－1，得或或
解得0＜x＜或x＜－2.
答案：{x|0＜x＜，或x＜－2}
10．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)问是否存在实数a、b，当x∈(1，＋∞)时，f(x)的值域为(0，＋∞)，且f(2)＝lg2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．
解析：(1)由ax－bx＞0及a＞1＞b＞0，得x＞1，故x＞0.
所以，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)令g(x)＝ax－bx，由a＞1＞b＞0知，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
当x∈(1，＋∞)时，f(x)取到一切正数等价于x∈(1，＋∞)时，g(x)＞1.
故g(1)＝1，得a－b＝1.①
又f(2)＝lg2，故a2－b2＝2.②
由①②解得a＝，b＝.
B级 力气提升练
11．假如一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P1(1,1)，P2(1,2)，P3，P4(2,2)中，“好点”的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设指数函数和对数函数分别为y＝ax(a＞0，a≠1)，y＝logbx(b＞0，b≠1)．若为“好点”，
则P1(1,1)在y＝ax的图像上，
得a＝1与a＞0，且a≠1冲突；
P2(1,2)明显不在y＝logbx的图像上；P3在y＝ax，y＝logbx的图像上时，a＝，b＝；
易得P4(2,2)也为“好点”．
答案：B
12．已知方程10x＝10－x，lgx＋x＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是__________．
解析：作函数y＝f(x)＝10x，y＝g(x)＝lgx，y＝h(x)＝10－x的图像如图所示，由于y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，∴它们的图像是关于直线y＝x对称的．又直线y＝h(x)与y＝x垂直，∴y＝f(x)与y＝h(x)的交点A和y＝g(x)与y＝h(x)的交点B是关于y＝x对称的．而y＝x与y＝h(x)的交点为(5,5)．又方程10x＝10－x的解α为A点横坐标，同理，β为B点横坐标．
∴＝5，即α＋β＝10.
答案：10
13．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域．
(2)求f(x)的区间上的最大值．
解析：∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a＞0，a≠1)．
∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2.
14．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)．
(1)求f(log2x)的最小值及相应的x值；
(2)x取何值时，f(log2x)＞f(1)，且log2f(x)＜f(1)．
解析：(1)∵f(x)＝x2－x＋b.
∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，
由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，
∴log2a(log2a－1)＝0.
∵a≠1，∴log2a＝1.
∴a＝2.
又log2f(a)＝2，
∴f(a)＝4.
∴a2－a＋b＝4.
∴b＝4－a2＋a＝2.
故f(x)＝x2－x＋2.
从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2
＝2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意，⇒
⇒0＜x＜1.
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