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其次章 数 列
§2.1 数 列
2.1.1 数 列
课时目标 1.理解数列、数列的通项公式等有关概念.2.对于比较简洁的数列，会依据其前n项写出它的通项公式.3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点争辩数列．
1．依据确定挨次排列的一列数叫做______，数列中的每一个数叫做这个数列的______．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做____项)，排在其次位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第____项．
2．数列可以看作是一个定义域为__________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量依据从小到大的挨次依次取值时，对应的一列________．
3．假如数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的______公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不行能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第______项．
8．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是______________．
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
10．传奇古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
三、解答题
11．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，…
(5)0,1,0,1，…
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
力气提升
13．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中有多少个点．
14．已知an＝ (n∈N＋)，试问数列{an}中有没有最大项？假如有，求出这个最大项；假如没有，说明理由．
1．一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的表现形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列．
2．数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要擅长利用函数的学问、函数的观点、函数的思想方法来解题．
§2.1 数 列
2．1.1 数 列
答案
学问梳理
1．数列 项 首 n 2.正整数集N＋ 函数值 3.通项
作业设计
1．B 2.A
3．D [令n＝1,2,3,4代入验证即可．]
4．C [n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．]
5．C [令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排解A、B、D，从而选C.]
6．C [∵an＝＝＋1，
∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上，
在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象，
由图象易知，
当x∈(0，)时，函数单调递减．∴a9<a8<a7<…<a1<1，
当x∈(，＋∞)时，函数单调递减，∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.]
7．10
解析 ∵＝，
∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
8．an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
9．an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
11．解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的确定值的排列规律为：后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N＋)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N＋)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
(5)an＝或an＝(n∈N＋)或an＝(n∈N＋)．
12．(1)解 设f(n)＝＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N＋，∴0<<1，∴0<an<1.
∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令<an＝<，则，即.∴<n<.
又∵n∈N＋，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
13．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，
每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
14．解 由于an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)
＝n＋1·＝n＋1·，则
当n≤7时，n＋1·>0，
当n＝8时，n＋1·＝0，
当n≥9时，n＋1·<0，
所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.
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