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其次章 数 列(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，假如an＝2 011，则序号n等于( )
A．667 B．668
C．669 D．671
2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120
C．168 D．192
4．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )
A．160 B．180
C．200 D．220
5．数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值( )
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在且不唯一 D．不愿定存在
6．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )
A．8 B．－8
C．±8 D．以上都不对
7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( )
A．1或2 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
9．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于( )
A. B.
C. D.
10．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20 C．19 D．18
11．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
12．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的( )
A．第48项 B．第49项
C．第50项 D．第51项
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.－1与＋1的等比中项是________．
14．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开头为负项，则公差为______．
15．“嫦娥奔月，举国庆祝”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分别，则这一过程大约需要的时间是______秒．
16．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①0<q<1；②a99·a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写全部正确的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
18．(12分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
19．(12分)已知数列{log2(an－1)} (n∈N＋)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
20．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列{}的前n项和Tn＝.
22．(12分)已知数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N＋，它的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)，并且a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.
其次章 数 列(A)
答案
1．D [由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.]
2．A [在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.]
3．B [由a5＝a2q3得q＝3.∴a1＝＝3，
S4＝＝＝120.]
4．B [∵(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)
＝(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)
＝3(a1＋a20)＝－24＋78＝54，
∴a1＋a20＝18.∴S20＝＝180.]
5．B [依题意，
bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，
∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2
＝3n－7＋(3n－2)logk
＝n－7－2logk，
∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，
即logk3＝1，∴k＝3.]
6．A [∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，
∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0，∴a4＝8.]
7．C [依题意有2a4＝a6－a5，
即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，
∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.
∴q＝－1或q＝2.]
8．A [明显等比数列{an}的公比q≠1，
则由＝＝1＋q5＝q5＝－，
故＝＝＝＝.]
9．C [由于a＝a1·a9，
所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．
所以a1＝d.
所以＝＝.]
10．B [∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，
∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴当n＝20时，Sn有最大值．]
11．D [由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.
又∵{an}是等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，
即X，Y－X，Z－Y为等比数列，
∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，
即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，
∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)．]
12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，
即，，，…，，
则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，
其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.]
13．±1
14．－4
解析 由，解得－≤d<－，
∵d∈Z，∴d＝－4.
15．15
解析 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，
解得n＝15.
16．①②④
解析 ①中，
q＝∈(0,1)，∴①正确．
②中，a99·a101<1，∴②正确．
③中，T100<T99，∴③错误．
④中，T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1，
T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a199100<1，∴④正确．
17．解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
由于a3＝－6，a6＝0，
所以
解得a1＝－10，d＝2.
所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
由于b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，q＝3.
所以数列{bn}的前n项和公式为
Sn＝＝4(1－3n)．
18．解 设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
19．(1)解 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1.
(2)证明 由于＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝
＝1－<1.
20．(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1
两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
21．(1)解 由已知(n≥2)，
得an＋1＝an(n≥2)．
∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．
又a2＝S1＝a1＝，∴an＝a2×()n－2(n≥2)．
∴an＝
(2)证明 bn＝log(3an＋1)＝log[×()n－1]＝n.
∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋
＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－＝.
22．解 (1)∵对任意n∈N＋，
有Sn＝(an＋1)(an＋2)， ①
∴当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或2.
当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)． ②
①－②并整理得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
而数列{an}的各项均为正数，
∴an－an－1＝3.
当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，
此时a＝a2a9成立；
当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，
此时a＝a2a9不成立，舍去．
∴an＝3n－2，n∈N＋.
(2)T2n＝b1＋b2＋…＋b2n
＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－6a2－6a4－…－6a2n
＝－6(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－6×
＝－18n2－6n.
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