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综合检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a5＋a6的值为( )
A．91 B．152 C．218 D．279
2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos A的值是( )
A．－ B. C．－ D.
3．在正项等比数列{an}中， a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )
A．16 B．32
C．64 D．256
4．等差数列{an}满足a＋a＋2a4a7＝9，则其前10项之和为( )
A．－9 B．－15 C．15 D．±15
5．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A. B.
C. D．2
6．假如不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，3)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
7．如图所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝，则sin(2A＋C)等于( )
A. B.
C. D.
8．已知各项都为正数的等比数列{an}的公比不为1，则an＋an＋3与an＋1＋an＋2的大小关系是( )
A．an＋an＋3<an＋1＋an＋2
B．an＋an＋3＝an＋1＋an＋2
C．an＋an＋3>an＋1＋an＋2
D．不确定的，与公比有关
9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )
A. B. C．± D．±
10．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
11．假如方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
12．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B. C．1 D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn}的前10项和是________．
14．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋cacos B＋abcos C的值为________．
15．设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．
16．在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝，∠ADB＝135°，若AC＝AB，则BD＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
(1)求通项an及Sn；
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
18．(12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
19．(12分)在△ABC中，a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是，求△ABC的面积．
20．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门打算每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和其次年末的实际住房面积的表达式．
(2)假如第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)
21．(12分)已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
22．(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇动身时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若期望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
模块综合检测(A)
1．B [a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152.]
2．A [由正弦定理得a∶b∶c＝4∶3∶2，
设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则cos A＝＝－.]
3．C [∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a(an>0)，
∴a8·a10·a12＝a＝64.]
4．D [a＋a＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9.
∴a4＋a7＝±3，∴a1＋a10＝±3，
∴S10＝＝±15.]
5．B
[|CD|＝1＋1＝2，
∴xA＝.
∴xB＝－1.
∴S△CDA＝×2×＝，
S△CDB＝×2×1＝1.故所求区域面积为.]
6．A [∵4x2＋6x＋3＝2＋>0，
∴原不等式2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3
2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0，x∈R恒成立Δ＝(6－2m)2－8(3－m)<0，∴1<m<3.]
7．A [由余弦定理，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝2，
那么AB＝.
由cos C＝，且0<C<π，
得sin C＝，由正弦定理＝，
解得sin A＝＝，所以cos A＝.
由倍角公式得sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝1－2sin2A＝，
故sin(2A＋C)＝sin 2Acos C＋cos 2Asin C＝.]
8．C [由于an＋an＋3＝an(1＋q3)，
an＋1＋an＋2＝an(q＋q2)，
an＋an＋3－(an＋1＋an＋2)＝an(1＋q3－q－q2)
＝an(1－q)(1－q2)
＝an(1－q)2(1＋q)>0.]
9．C [等差数列记作{an}，等比数列记作{bn}，
则q2＝＝＝＝＝＝3，∴q＝±.]
10．C [如图，作出可行域．
由得A，
平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取得最大值，即＋＝9，
解得m＝1.]
11．D [实数m满足不等式组
解得0<m<1.]
12．C [由于a>1，b>1，ax＝by＝3，a＋b＝2，
所以x＝loga3，y＝logb3.＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝log32＝1， 当且仅当a＝b时，等号成立．]
13．－25
解析 ∵{an}成等比数列，an>0，
∴a2a4＝a＝1.
∴a3＝1.∴a1q2＝1.①
∵S3＝a1＋a2＋1＝13，
∴a1(1＋q)＋1＝13.②
由①②得，a1＝9，q＝，an＝33－n.
∴bn＝3－n.∴S10＝－25.
14.
解析 bccos A＝bc·＝(b2＋c2－a2)；
同理，cacos B＝(a2＋c2－b2)；
abcos C＝(a2＋b2－c2)．
∴bccos A＋cacos B＋abcos C＝(a2＋b2＋c2)＝.
15．4
解析 如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A(0,2)，B(，0)，C(1,4)，当直线l：y＝－abx＋z过点C时，z取最大值8，即8＝ab＋4，∴ab＝4.
又∵a>0，b>0，
∴a＋b≥2＝2＝4(a＝b＝2时取等号)．
16．2＋
解析 如图，设AB＝k，则AC＝k.再设BD＝x，则DC＝2x.
在△ABD中，由余弦定理得
k2＝x2＋2－2·x··＝x2＋2＋2x，①
在△ADC中，由余弦定理得
2k2＝4x2＋2－2·2x··＝4x2＋2－4x，
∴k2＝2x2＋1－2x.②
由①②得x2－4x－1＝0，解得x＝2＋(负值舍去)．
17．解 (1)∵{an}是首项为a1＝19，
公差为d＝－2的等差数列，
∴an＝19－2(n－1)＝21－2n，
Sn＝19n＋n(n－1)×(－2)＝20n－n2.
(2)由题意得bn－an＝3n－1，即bn＝an＋3n－1，
∴bn＝3n－1－2n＋21，
∴Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋.
18．解 (1)由于不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.
由根与系数的关系，得解得所以a＝1，b＝2.
(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为．
综上，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为．
19．解 据题意知a－b＝2，b－c＝2，
∴边长a最大，∴sin A＝，∴cos A＝±＝±.
∵a最大，∴cos A＝－.
又a＝b＋2，c＝b－2，
∴cos A＝＝＝－，
解得b＝5，∴a＝7，c＝3，
∴S△ABC＝bcsin A＝×5×3×＝.
20．解 (1)第一年末的住房面积为a·－b＝(1.1a－b)(m2)．
其次年末的住房面积为·－b＝a·2－b＝(1.21a－2.1b)(m2)．
(2)第三年末的住房面积为·－b＝a·3－b，
第四年末的住房面积为a·4－b，
第五年末的住房面积为a·5－b·＝1.15a－b＝1.6a－6b.依题意可知1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，所以每年拆除的旧住房面积为 m2.
21．解
作出一元二次方程组
所表示的平面区域(如图)即可行域．
考虑z＝2x－3y，把它变形为y＝x－z，得到斜率为，且随z变化的一族平行直线，－z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最大值．
由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．
解方程组，得A的坐标为(2,3)．
所以zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
解方程组，得B的坐标为(2，－1)，
所以zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.
∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．
22.
解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．
如图所示，设小艇与轮船在C处相遇．
在Rt△OAC中，
OC＝20cos 30°＝10，
AC＝20sin 30°＝10.
又AC＝30t，OC＝vt.
此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30.
即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图所示，设小艇与轮船在B处相遇．
由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
化简，得v2＝－＋900＝400(－)2＋675.
由于0<t≤，即≥2，
所以当＝2时，
v取得最小值10，
即小艇航行速度的最小值为10海里/时．
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