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第十三节 导数在争辩函数中的应用(二)
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
1.f(x)＝x3－3x2＋2在区间上的最大值是( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，可得x＝0或2(舍去)，当－1≤0时，f′(x)＞0，当0＜x≤1时，f′(x)＜0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
解析：令g(x)＝x－ln (x＋1)，则g′(x)＝1－＝，
由g′(x)＞0，得x＞0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)＜0得－1＜x＜0，即函数g(x)在(－1，0)上单调递减，
所以当x＝0时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(0)＝0，
于是对任意的x∈(－1，0)∪(0，＋∞)，有g(x)≥0，故排解B、D，
因函数g(x)在(－1，0)上单调递减，则函数f(x)在(－1，0)上递增，故排解C，故选A.
答案：A
3．把长100 cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为( )
A．20，80 B．40，60 C．50，50 D．30，70
解析：设一段长为x，则另一段长为100－x，
∴S＝＋＝[x2＋(100－x)2]
＝(2x2－200x＋10 000)．
令S′＝0，得(4x－200)＝0，∴x＝50.
答案：C
4．(2021·淄博一检)已知a≤＋ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：设f(x)＝＋ln x，则f′(x)＝＋＝.当x∈时，f′(x)＜0，故函数f(x)在上单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.
答案：A
5．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)在[－2，1]上的最小值为( )
A．－1 B．0
C．2 D．3
解析：易知f(x)为二次函数，且常数项为0，设f(x)＝ax2＋bx，则f′(x)＝2ax＋b.由图得导函数的表达式为f′(x)＝2x＋2，所以f(x)＝x2＋2x.当x＝－1时，f(x)在[－2，1]上有最小值－1.故选A.
答案：A
6．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( )
A．f(－a2)≤f(－1)
B．f(－a2)＜f(－1)
C．f(－a2)≥f(－1)
D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
答案：A
7．(2021·辽宁营口二模)若函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[－2，2] D．(－2，2)
解析：由函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，
则函数f(x)有两个极值点，微小值小于0，极大值大于0.
由f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝1，x2＝－1，
所以函数f(x)的两个极值点为x1＝1，x2＝－1.
由于x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；x∈(－1，1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时f′(x)＞0，
所以函数的微小值f(1)＝m－2和极大值f(－1)＝m＋2.
在(－∞，－1)时，f(x)是从－∞开头递增的，x∈(1，＋∞)时，f(x)是递增向＋∞的，所以能保证有三个零点．
由于函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，所以解之得－2＜m＜2.故选D.
答案：D
8．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是____________．
解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f′(x)＝2x－＝≤0及x>0知，0<x≤1.
答案：(0，1]
9．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝，由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
答案：[－4，－2]
10．(2022·岳阳模拟)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
下列关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)的值域为[1，2]；
②函数f(x)在[0，2]上是减函数；
③假如当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．
其中真命题为________(填写序号)．
解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在(－1，0)上递增，在(0，2)上递减，在(2，4)上递增，在(4，5)上递减，故②正确；当x＝0与x＝4时，y＝f(x)取极大值，当x＝2时，y＝f(x)取微小值，由于f(2)的值不确定，故①④不正确；对于③，t的最大值为5.
答案：②
11．已知函数f(x)＝xln x.
(1)若对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤x2－ax＋2恒成立，求实数a的取值范围；
(2)试推断函数y＝ln x－＋是否有零点？若有，求出零点的个数；若无，请说明理由．
解析：(1)由f(x)≤x2－ax＋2得xln x≤x2－ax＋2，
∵x＞0，∴a≤x－ln x＋，
令g(x)＝x－ln x＋，
g′(x)＝1－－＝＝(x＞0)．
当x∈(0，2)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
∴g(x)min＝g(2)＝3－ln 2，
∵对一切x∈(0，＋∞)，都有a≤x－ln x＋恒成立，
∴a∈(－∞，3－ln 2]．
(2)令ln x－＋＝0，则xln x＝－，即f(x)＝－.
由题知当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝f＝－.
设h(x)＝－(x＞0)，则h′(x)＝.
当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝－.
∴对一切x∈(0，＋∞)，f(x)＞h(x)，即ln x－＋＞0.
∴函数y＝ln x－＋没有零点．
12．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑的售价为6 000元/台时，月销售量为a台．市场分析的结果表明，假如笔记本电脑的售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量削减的百分率为x2.记售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元．
(1)写出月利润y与x的函数关系式．
(2)如何确定这种笔记本电脑的售价，可使得该公司的月利润最大？
解析：(1)依题意，售价提高后变为6 000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，则y＝a(1－x2)[6 000(1＋x)－4 500]，即y＝1 500a(－4x3－x2＋4x＋1)，0<x<1.
(2)由(1)知y′＝1 500a(－12x2－2x＋4)，
令y′＝0，得6x2＋x－2＝0，
解得x＝或x＝－(舍去)．
当0<x<时，y′>0；
当<x<1时，y′<0.
故当x＝时，y取得最大值．
此时售价为6 000×＝9 000(元)．
故笔记本电脑的售价为9 000元/台时，该公司的月利润最大．
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