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杭州二中2022学年第一学期高二班级期中考试数学卷(文科)
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是
A．若 B．若//
C．若 D．若//
S
B
A
C
O
3题
2. 正方体中，分别是的中点，则过三点的正方体的截面外形是
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
3.如图，在三棱锥中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，底面，为垂足，则侧棱与底面所成角的余弦值为
A． B． C． D．
4.若点，关于直线对称，则的方程是
A． B． C． D．
5.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
6.如图，在正方体中,下面结论错误的是
A.∥平面 B. 异面直线与所成的角为30°
C.⊥平面 D.
7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
6题 7题
8题
8.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是
A. B.
C. D.
9.在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开头时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过两分钟后，该物体位于点，且，则的值为
A. B. C. D.
10．三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（每题4分，共24分）
11.两条平行直线之间的距离为_________.
12.在平面直角坐标系中，已知点，分别以的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为 .
13.已知为正方体，①(＋＋)2＝32；②
·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．
14题 15题
14.如图，正方体的棱长为1，点是面对角线上的动点，则 的最小值为 ．
15．如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．
16．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为
若到点、的“直角距离”相等，其中实
数、满足、，则全部满足条件的点的轨迹的长度之和为 ．
三、解答题（共46分）
17．（10分）(1)已知三点坐标分别为，，，求点P的坐标使得；
(2)已知，，求：①；②与夹角的余弦值；
③确定，的值使得与轴垂直，且.
18.（12分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成,点在圆的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中平面,,..
(1)求证：.
(2)求三棱锥的体积.
19．（12分）如图，已知正方体的棱长为2，分别是、的中点，过、、作平面交于G．
(l)求证：∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方体被平面所截得的几何体的体积．
20.（12分）在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.
杭州二中2022学年第一学期高二班级期中考试数学卷（文科）
一、选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题（共46分）
17.（10分）
18. （12分）
19.(12分)
20.（12分）
杭州二中2022学年第一学期高二班级期中考试数学卷（文科）
一、选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
A
D
B
C
B
B
C
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 12. 13. 1,2
14. 15. 16.
三、解答题（共46分）
17.（1）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2），
=（2，6，-3），=（-4，3，1），
∵=（-）.
∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］
=（6，3，-4）=(3，，-2)
∴，解得
∴P点坐标为(5，，0).
（2）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）
=3×2+5×1-4×8=-21.
②∵|a|==5,
|b|==,
∴cos〈a,b〉= ==-.
∴a与b夹角的余弦值为-.
③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.
依题意
即
故 解得.
18.【解析】(1)由于EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.
又由于AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.
由于BD⊂平面EBD,所以AC⊥BD.
(2)由于点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.
设圆O的半径为r,圆柱高为h,依据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：
方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,
所以VE-BCD=VC-EBD=S△EBD×CA,
由于EA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EA⊥AB,即ED⊥AB.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
由于AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,
所以VE-BCD=×4×2=.
方法二：由于EA⊥平面ABC,
所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=S△ABC×EA+
S△ABC×DA=S△ABC×ED.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
由于AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,
所以VE-BCD=错误！未找到引用源。×4×4=.
19.【解析】
（1）证明：在正方体中，由于平面平面,
平面平面平面平面
（2）解：如图，以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则有
设平面的法向量为则由和得
取得
又平面的法向量为
故
所以截面与底面所成二面角的余弦值为
（3）解：设所截几何体的体积为
与相像，
故
20.试题解析：（1）由题得，，∴被直线分隔.
（2）由题得，直线与曲线无交点
即无解
∴或，∴.
又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．
（3）由题得，设，∴，
化简得，点的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为.
联立方程，.
令，由于，
所以方程有实解，直线与曲线有交点．直线不是曲线的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.
明显与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线是分隔线．
综上所述，仅存在一条直线是的分割线.
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