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第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质
考情解读 (1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础学问为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择、填空题的形式毁灭，且常与新定义问题相结合，难度较大．
1．函数的三要素
定义域、值域及对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、推断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．
(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.
3．函数的图象
对于函数的图象要会作图、识图、用图．
作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种状况，着重关注两函数图象中的两种状况的公共性质．
(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种状况.
热点一 函数的性质及应用
例1 (1)(2022·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(2)设奇函数y＝f(x) (x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于________．
思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f(x)的性质和x∈[0，]时的解析式探求f(3)和f(－)的值．
答案 (1)(－1,3) (2)－
解析 (1) ∵f(x)是偶函数，
∴图象关于y轴对称．
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，
则f(x)的大致图象如图所示，
由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.
(2)依据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)
＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到
f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，
得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f＝0＋＝－.
思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中依据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，依据函数的性质解决问题．
(1)(2021·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))等于( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
(2)(2021·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为______________．
答案 (1)C (2)(－5,0)∪(5，＋∞)
解析 (1)lg(log210)＝lg＝－lg(lg 2)，
由f(lg(log210))＝5，得a[lg(lg 2)]3＋bsin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f(lg(lg 2))＝a(lg(lg 2))3＋bsin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3.
(2)由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝
不等式f(x)>x等价于或
解得：x>5，或－5<x<0.
热点二 函数的图象
例2 (1)下列四个图象可能是函数y＝图象的是( )
(2)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排解法确定图象．(2)考虑函数f(x)的单调性．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)函数的定义域为{x|x≠－1}，其图象可由y＝的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，y＝为奇函数，图象关于原点对称，所以，y＝的图象关于点(－1,0)成中心对称．可排解A，D.
又x>0时，y＝>0，所以，B不正确，选C.
(2)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，所以a＝f(－)＝f()，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.选D.
思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其留意y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．
(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合争辩．
(1)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同始终角坐标系中的图象大致是( )
(2)(2021·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
答案 (1)C (2)D
解析 (1)f(x)＝1＋log2x的图象过定点(1,1)，g(x)＝21－x的图象过定点(0,2)．
f(x)＝1＋log2x的图象由y＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，且f(x)＝1＋log2x为单调增函数，g(x)＝21－x＝2×()x的图象由y＝()x的图象伸缩变换得到，且g(x)＝21－x为单调减函数．A中，f(x)的图象单调递增，但过点(1,0)，不满足；B中，g(x)的图象单调递减，但过点(0,1)，不满足；D中，两个函数都是单调增函数，也不满足．选C.
(2) 函数y＝|f(x)|的图象如图．
①当a＝0时，|f(x)|≥ax明显成立．
②当a>0时，只需在x>0时，
ln(x＋1)≥ax成立．
比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．
明显不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．
即a≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.
热点三 基本初等函数的图象及性质
例3 若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
思维启迪 可利用函数图象或分类争辩确定a的范围．
答案 C
解析 方法一 由题意作出y＝f(x)的图象如图．
明显当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a)．故选C.
方法二 对a分类争辩：
当a>0时，log2a>loga，即log2a>0，∴a>1.
当a<0时，log(－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，
∴－1<a<0，故选C.
思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类争辩、等价转化等数学思想方法及其运算力气．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
(1)设<()b<()a<1，那么( )
A．aa<ab<ba B．ab<aa<ba
C．aa<ba<ab D．ab<ba<aa
(2)已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
答案 (1)B (2)0
解析 (1)由于指数函数y＝()x在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由<()b<()a<1得0<a<b<1，
所以0<<1.
所以y＝ax，y＝bx，y＝()x在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而ab<aa，()a<1得ba>aa，
故ab<aa<ba，答案选B.
(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
1．推断函数单调性的常用方法
(1)能画出图象的一般用数形结合法去观看．
(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的推断问题．
(3)对于解析式较简洁的一般用导数法．
(4)对于抽象函数一般用定义法．
2．函数奇偶性的应用
函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．
利用函数的奇偶性可以把争辩整个函数具有的性质问题转化到只争辩部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其留意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．提示：函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象对称轴为x＝0，并非直线x＝a.
(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．
4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类争辩、数形结合思想来争辩与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”学问的考查往往渗透在其他学问之中，并且大都毁灭在解答题中．
5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特殊是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．
比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，留意与0比较或与1比较．
6．解决与本讲有关的问题应留意函数与方程、数形结合、分类争辩、化归与转化等思想的运用.
真题感悟
1．(2022·安徽)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
答案
解析 ∵f(x)是以4为周期的奇函数，
∴f＝f＝f，
f＝f＝f.
∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，
∴f＝×＝.
∵当1<x≤2时，f(x)＝sin πx，∴f＝sin ＝－.
又∵f(x)是奇函数，∴f＝－f＝－，
f＝－f＝.
∴f＋f＝－＝.
2．(2022·福建)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( )
答案 B
解析 由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，明显图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，明显与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，明显不符，故选B.
押题精练
1．已知函数f(x)＝e|ln x|－，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为( )
答案 A
解析 据已知关系式可得
f(x)＝
作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y＝f(x＋1)的图象．
2．已知函数f(x)＝|logx|，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 D
解析 ∵f(x)＝|logx|，若m<n，有f(m)＝f(n)，
∴logm＝－logn，
∴mn＝1，∴0<m<1，n>1，∴m＋3n＝m＋在m∈(0,1)上单调递减，当m＝1时，m＋3n＝4，∴m＋3n>4.
3．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 由题意得，利用平移变化的学问画出函数|f(x)|，g(x)的图象如下，
而h(x)＝，故h(x)有最小值－1，无最大值．
(推举时间：40分钟)
一、选择题
1．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－4x＋4
C．f(x)＝2x D．f(x)＝logx
答案 C
解析 函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”等价于x1－x2与f(x1)－f(x2)的值的符号相同，即可化为>0，表示函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由此可得只有函数f(x)＝2x符合．故选C.
2．(2022·浙江)在同始终角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
答案 D
解析 方法一 分a>1,0<a<1两种情形争辩．
当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排解C；
当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排解A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.
方法二 幂函数f(x)＝xa的图象不过(0,1)点，排解A；B项中由对数函数f(x)＝logax的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝logax的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
3．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lg x，则f的值等于( )
A. B．－ C．lg 2 D．－lg 2
答案 D
解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝lg(－x)．
又函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝－lg(－x)．
所以f＝lg ＝－2，
f＝f(－2)＝－lg 2.
4．若a>b，则下列不等式成立的是( )
A．ln a>ln b B．0.3a>0.3b
C．a>b D.>
答案 D
解析 由于a>b，而对数的真数为正数，所以ln a>ln b不愿定成立；
由于y＝0.3x是减函数，又a>b，则0.3a<0.3b，故B错；
由于y＝x在(0，＋∞)是增函数，又a>b，则a>b不愿定成立，故C错；
y＝x在(－∞，＋∞)是增函数，又a>b，则a>b，即>成立，选D.
5．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( )
A．{x|x<－2或x>4}
B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6}
D．{x|x<－2或x>2}
答案 B
解析 由于函数f(x)是偶函数，因此有f(|x|)＝f(x)，不等式f(x－2)>0，
即f(|x－2|)>0，f(|x－2|)＝2|x－2|－4>0，|x－2|>2，
即x－2<－2或x－2>2，由此解得x<0或x>4.
于是有{x|f(x－2)>0}＝{x|x<0或x>4}，故选B.
6．定义在R上的偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2x－，则f(－2)、f(3)、f(－5)的大小关系为( )
A．f(－2)>f(3)>f(－5)
B．f(－2)<f(3)<f(－5)
C．f(－2)<f(－5)<f(3)
D．f(－2)>f(－5)>f(3)
答案 B
解析 由于当x>0时，f(x)＝log2x－为单调递增函数，所以f(2)<f(3)<f(5)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－5)＝f(5)，所以f(－2)<f(3)<f(－5)．
7．下列函数中，与函数f(x)＝2x－1－的奇偶性、单调性均相同的是( )
A．y＝ex B．y＝ln(x＋)
C．y＝x2 D．y＝tan x
答案 B
解析 由于函数f(x)＝2x－1－＝(2x－)，可知函数f(x)在定义域上是奇函数，且单调递增，y＝ex为非奇非偶函数，y＝x2为偶函数，y＝tan x在定义域上是奇函数，但不单调递增，只有y＝ln(x＋)在定义域上是奇函数，且单调递增，故选B.
8．(2021·天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
答案 C
解析 由题意知a>0，又loga＝log2a－1＝－log2a.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(loga)．
∵f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在[0，＋∞)上递增．
∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，
∴a∈，选C.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝，则f(ln 3)＝________.
答案 e
解析 f(ln 3)＝f(ln 3＋1)＝e＝e，故填e.
10．已知函数f(x)＝x|x－a|，若对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a≤2}
解析 f(x)＝，由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0知，函数y＝f(x)在[2，＋∞)单调递增，当a≤0时，满足题意，当a>0时，只需a≤2，即0<a≤2，综上所述，实数a的取值范围为a≤2.
11．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
答案 －10
解析 由于f(x)的周期为2，
所以f＝f＝f，
即f＝f.
又由于f＝－a＋1，f＝＝，
所以－a＋1＝.
整理，得a＝－(b＋1)．①
又由于f(－1)＝f(1)，
所以－a＋1＝，即b＝－2a.②
将②代入①，得a＝2，b＝－4.
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
12．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；
②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f(x1)＜f(x2)；
③函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称．
则推断f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系为________．
答案 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x＝2对称的函数．所以f(4.5)＝f(4＋)＝f()，
f(7)＝f(4＋3)＝f(3)，
f(6.5)＝f(4＋)
＝f()．
又f(x)在[0,2]上为增函数．
所以作出其在[0,4]上的图象知
f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．
13．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R，若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
答案 －10
解析 由题意得f()＝f()＝f(－)，
∴＝－a＋1，∴a＋b＝－1.①
又f(－1)＝f(1)，∴－a＋1＝，∴b＝－2a，②
解①②得a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10.
14．能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是________．
①f(x)＝ex＋e－x ②f(x)＝ln
③f(x)＝tan ④f(x)＝4x3＋x
答案 ②③④
解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图象不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不是“和谐函数”；②中f(0)＝ln＝ln 1＝0，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln为“和谐函数”；③中，f(0)＝tan 0＝0，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tan为“和谐函数”；④中，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．
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