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[真题感悟]
1．(2022·广东卷)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
解析 当x<－2时，原不等式等价于1－x－x－2≥5⇒x≤－3，此时得到x≤－3；当－2≤x≤1时，原不等式等价于1－x＋x＋2≥5，此时无解；当x>1时，原不等式等价于x－1＋x＋2≥5⇒x≥2，此时得到x≥2.于是原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
答案 {x≤－3或x≥2}
2．(2022·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
解析 由|ax－2|<3，解得－1<ax<5，
当a＞0时，－＜x＜与已知条件不符；
当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a＜0时，＜x＜－，又不等式的解集为，故a＝－3.
答案 －3
3．(2022·陕西卷)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．
解析 依据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.
答案
4．(2022·重庆卷)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 法一 设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝
∴x＝，函数y＝|2x－1|＋|x＋2|取最小值3×＋1＝，
∴|2x－1|＋|x＋2|≥≥a2＋a＋2，
即2a2＋a－1≤0，∴－1≤a≤.
法二 |2x－1|＋|x＋2|＝|x－|＋≥0＋|(x－)－(x＋2)|＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是.
答案
[考点整合]
1．含有确定值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用确定值不等式的几何意义求解．
2．含有确定值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式．
3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：假如a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：假如a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)假如a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
4．柯西不等式
(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则()≥(ibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
5．确定值不等式
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.需要机敏地应用．
6．不等式的性质，特殊是基本不等式链
≤≤≤ (a>0，b>0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．
7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.
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