资源描述
限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. [2021·云南省昆明测试]设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1等于( )
A. － B. －
C. D.
解析：由得
解得a1＝.故选D.
答案：D
2. [2021·唐山模拟]在等差数列{an}中，2a4＋a7＝3，则数列{an}的前9项和等于( )
A. 9 B. 6
C. 3 D. 12
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵2a4＋a7＝3，
∴2(a1＋3d)＋a1＋6d＝3，整理得a1＋4d＝1，即a5＝1.
∴S9＝＝9a5＝9.故选A.
答案：A
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，S6＝42，则a10＋a11＋a12＝( )
A. 156 B. 102
C. 66 D. 48
解析：依据等差数列的特点，等差数列中a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12也成等差数列，记这个数列为{bn}，依据已知b1＝12，b2＝42－12＝30，故这个数列的首项是12，公差是18，所以b4＝12＋3×18＝66.
答案：C
4. [2021·南昌模拟]在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，已知＝，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得＝＝＝.
答案：A
5. [2021·课标全国卷Ⅰ]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：由题意知，Sm＝＝0.
∴a1＝－am＝－(Sm－Sm－1)＝－2.
又am＋1＝Sm＋1－Sm＝3.
∴公差d＝am＋1－am＝1.
∴am＋1＝a1＋md＝－2＋m＝3.
∴m＝5.故选C.
答案：C
6. 在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是( )
A. 24 B. 48
C. 60 D. 84
解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60，故选C.
答案：C
7. [2021·广东高考]在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
解析：设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
答案：20
8. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________.
解析：由等差数列前n项和的性质得＝＝＝.
答案：
9. [2021·杭州质检]已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10＝________.
解析：设等差数列的公差为d，
则＝，＝.
∵是等差数列，
∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝，
故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.
答案：
10. [2022·浙江高考]已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
由于d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，故所以
11. [2021·课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝(－)，
从而数列的前n项和为
＝.
12. [2022·衡水月考]已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4.
(1)求证{an}为等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，
有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，
也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相冲突，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)＝n＋2，即an＝n＋2.
[B级 知能提升]
1. [2022·辽宁高考]设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A. d>0 B. d<0
C. a1d>0 D. a1d<0
解析：∵{2a1an}为递减数列，∴＝2a1an＋1－a1an＝2a1d<1＝20，∴a1d<0，故选D.
答案：D
2. [2021·北京模拟]已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，则a6等于( )
A. 16 B. 8
C. 2 D. 4
解析：由2a＝a＋a(n≥2)可得，数列{a}是首项为a＝1，公差为a－a＝3的等差数列，由此可得a＝1＋3(n－1)＝3n－2，即得an＝，∴a6＝＝4，故应选D.
答案：D
3. 已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为( )
A. 11 B. 19
C. 20 D. 21
解析：∵<－1，且Sn有最大值，
∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，
∴S19＝＝19·a10>0，
S20＝＝10(a10＋a11)<0，
故使得Sn>0的n的最大值为19.
答案：B
4. [2021·河北统考]已知等差数列{an}中，a5＝12，a20＝－18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.
解：(1)设数列{an}的公差为d，
依题意得，
解得，
∴an＝20＋(n－1)×(－2)＝－2n＋22.
(2)由(1)知|an|＝|－2n＋22|＝，
∴当n≤11时，Sn＝20＋18＋…＋(－2n＋22)＝＝(21－n)n；
当n>11时，Sn＝S11＋2＋4＋…＋(2n－22)＝110＋＝n2－21n＋220.
综上所述，Sn＝.
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