江苏省盐城中学2021届高三上学期10月月考试题-数学(文)-Word版含答案.docx

盐城中学2021届高三第一次阶段考试数学试题（文）
命题人 审核人
一、 填空题：
1.设全集为，集合，集合，则(∁)=________▲___
2.命题“对，都有”的否定为______▲____，使得

3.已知是其次象限角，且则_____________
4.等比数列中，，前三项和，则公比的值为 或1 ．
5.已知向量，，，若，则实数__▲___1
6.直线被圆截得的弦长等于 ．
7.已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率
▲ .
8. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为________▲_________

9.设为正实数，且，则的最小值是 ▲ .
10.函数的单调增区间为______▲________
11. 已知函数的图像在点处的切线斜率为，则 ．

12.设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，则____▲_____
13.已知点和圆，是圆上两个动点，且，则 (为坐标原点)的取值范围是 . [2,22]
14. 假如直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围 ▲ .

二、解答题：
15. 设集合，.
（1）当1时，求集合；
（2）当时，求的取值范围．
解：（1） （2）
15. 设函数.
(1). 已知，求函数的值域；
(2). 设为的三个内角，若，求.
解：（1）
＝＝
所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为。
（2）==, 所以,
又C为ABC的内角 所以,
又由于在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以

17.设公比大于零的等比数列 的前项和为，且，，数列的前项和为，满足，，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．

（Ⅰ）由， 得
又（，
则得
所以，当时也满足．
（Ⅱ），所以，使数列是单调递减数列，
则对都成立，
即，
，
当或时，所以．

18.已知水渠在过水断面面积为定值的状况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图：
图①的过水断面为等腰过水湿周．图②的过水断面为等腰梯形过水湿周．
若△与梯形的面积都为.

　　　　　　　　　　 图①　　　　　　　　　　　　 　图②
（1）分别求和的最小值；
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

（1）在图①中，设∠，AB＝BC＝a．
则，由于S、a、皆为正值，
可解得．当且仅当，即＝90°时取等号．
所以，的最小值为．
在图②中，设AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°
可求得AD＝m＋n，，
解得．
，
的最小值为．
当且仅当，即时取等号．　
（2）由于，则的最小值小于的最小值．
所以在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案

19.已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列.数列前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求正整数的值；
（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出全部满足条件的值，若不存在，说明理由.

20. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）g （x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
可得g （x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
故g （x）有极大值为g （1）＝0，无微小值．
（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．
当a≤0时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，h（x）＝
①当x≥a时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；
②当0＜x＜a时，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．
当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；
当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，
所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．
综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；
当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．

（3）不等式（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，
即（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．
当0＜x＜1时，x2－1＜0；lnx＜0，则（x2－1）lnx＞0；
当x≥1时，x2－1≥0；lnx≥0，则（x2－1）lnx≥0．
因此当x＞0时，（x2－1）lnx≥0恒成立．
又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．
下面争辩k＞0的情形．
当x＞0且x≠1时，（x2－1）lnx－k（x－1）2＝（x2－1）[lnx－]．
设h（x）＝lnx－（ x＞0且x≠1），h′（x）＝－＝．
记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．
①当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．
于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1） h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．
当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1） h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．
又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．
因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．
②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．
函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，
又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．
故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；
而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1） h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，
因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．
综上，当（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．