上海市普通高等学校春季招生考试数学试题.doc

2005年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟。
一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。
1. 方程的解集是 .
2. .
3. 若，且，则 .
4. 函数的反函数 .
5. 在△中，若，，则 .
6. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示).
7. 双曲线的焦距是 .
8. 若，且，则 .
9. 设数列的前项和为（）. 关于数列有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列；
（3）若，则是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是 .
10. 若集合，，则= .
11. 函数的值域是 .
12. 已知函数，数列的通项公式是（），当取得最小值时， .
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
13. 已知直线及平面，下列命题中的假命题是
（A）若，，则. （B）若，，则.
（C）若，，则. （D）若，，则.
[答] ( )
14. 在△中，若，则△是
（A）直角三角形. （B）等边三角形.
（C）钝角三角形. （D）等腰直角三角形.
[答] ( )
15. 若是常数，则“”是“对任意，有”
的
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
[答] ( )
16. 设函数的定义域为，有下列三个命题：
（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数
的最大值；
（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值.
这些命题中，真命题的个数是
（A）0个. （B）1个. （C）2个. （D）3个.
[答] ( )

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17. (本题满分12分)
已知是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
[解]

18. (本题满分12分)
已知是方程的两个根中较小的根，求的值.
[解]

19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.
（1）证明：；
（2）求底面中心到侧面的距离.
[证明]（1）

[解]（2）

20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
[解]（1）

（2）

21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。
已知函数的定义域为，且. 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.
（1）求的值；
（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.
[解]（1）
（2）
（3）

22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分。
（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.
[解]（1）

[证明]（2）

[解]（3）

2005年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.
4.给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1. . 2. 0. 3. . 4. .
5. 16. 6.. 7. . 8. 11.
9. （1）、（2）、（3）. 10. .
11. . 12. 110
二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
题 号
13
14
15
16
代 号
D
B
A
C
三．（第17至22题）
17. [解] 设，
，由题意得 . …… 2分

由题意得 . …… 6分
∴ .
∵ ， …… 9分
根据条件，可知，解得 ，
∴ 实数的取值范围是. …… 12分
18. [解] ∵ 是方程的较小根，
∴ 方程的较大根是.
∵ +=，即

∴ . …… 5分
解得 ，或. …… 8分
当时，，；
当时，，，不合题意.
∴ . …… 12分
19. [证明]（1）取边的中点，连接、，
则，，故平面. …… 4分
∴ . …… 6分
[解]（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角.
过点作为垂足，则就是点到侧面的距离. …… 9分
设为，由题意可知点在上，
∴ ，.
, …… 11分
∴ ，
∵ ，∴ .
即底面中心到侧面的距离为3. …… 14分
20. [解]（1）2005年底的住房面积为
（万平方米）,
2006年底的住房面积为
（万平方米）
∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分
（2）2024年底的住房面积为
…… 10分
（万平方米）
∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分
21. [解]（1）∵ ，∴ . …… 3分
（2）设点的坐标为，则有，，
由点到直线的距离公式可知：，
故有，即为定值，这个值为1. …… 9分
（3）由题意可设，可知.
∵ 与直线垂直，∴ ，即 ，解得
，又，∴ .
∴，，
∴ ，
当且仅当时，等号成立.
∴ 此时四边形面积有最小值. …… 16分
22. [解]（1）设椭圆的标准方程为，，
∴ ，即椭圆的方程为，
∵ 点（）在椭圆上，∴ ，
解得 或（舍），
由此得，即椭圆的标准方程为. …… 5分
（2）设直线的方程为， …… 6分
与椭圆的交点()、()，
则有，
解得 ，
∵ ，∴ ，即 .
则 ，
∴ 中点的坐标为. …… 11分
∴ 线段的中点在过原点的直线 上. …… 13分
（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心. …… 18分