上海市普通高等学校春季招生考试数学试题.doc

2005年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟。一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。1. 方程的解集是 .2. . 3. 若，且，则 .4. 函数的反函数 .5. 在中，若，则 .6. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示).7. 双曲线的焦距是 .8. 若，且，则 . 9. 设数列的前项和为（）. 关于数列有下列三个命题：（1）若既是等差数列又是等比数列，则；（2）若，则是等差数列；（3）若，则是等比数列. 这些命题中，真命题的序号是 .10. 若集合，则= .11. 函数的值域是 .12. 已知函数，数列的通项公式是（），当取得最小值时， .二选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.13. 已知直线及平面，下列命题中的假命题是 （A）若，则. （B）若，则. （C）若，则. （D）若，则. 答 ( )14. 在中，若，则是 （A）直角三角形. （B）等边三角形. （C）钝角三角形. （D）等腰直角三角形. 答 ( )15. 若是常数，则“”是“对任意，有” 的 （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. 答 ( )16. 设函数的定义域为，有下列三个命题：（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数 的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值. 这些命题中，真命题的个数是 （A）0个. （B）1个. （C）2个. （D）3个. 答 ( )三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17. (本题满分12分) 已知是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.解18. (本题满分12分) 已知是方程的两个根中较小的根，求的值.解19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为. （1）证明：； （2）求底面中心到侧面的距离. 证明（1）解（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积； （2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）解（1） （2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。已知函数的定义域为，且. 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为. （1）求的值； （2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由； （3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值.解（1） （2） （3）22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分。（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.解（1）证明（2）解（3）2005年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数. 4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1. . 2. 0. 3. . 4. . 5. 16. 6. 7. . 8. 11. 9. （1）、（2）、（3）. 10. . 11. . 12. 110二（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 题 号13141516 代 号D BAC三（第17至22题）17. 解 设， ，由题意得 . 2分 由题意得 . 6分 . ， 9分 根据条件，可知，解得 ， 实数的取值范围是. 12分18. 解 是方程的较小根， 方程的较大根是. +=，即 . 5分 解得 ，或. 8分 当时，； 当时，不合题意. . 12分19. 证明（1）取边的中点，连接、， 则，故平面. 4分 . 6分 解（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角. 过点作为垂足，则就是点到侧面的距离. 9分设为，由题意可知点在上， ，., 11分 ， ， . 即底面中心到侧面的距离为3. 14分20. 解（1）2005年底的住房面积为 （万平方米）, 2006年底的住房面积为 （万平方米） 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. 6分 （2）2024年底的住房面积为 10分 （万平方米） 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. 14分21. 解（1） ， . 3分 （2）设点的坐标为，则有， 由点到直线的距离公式可知：， 故有，即为定值，这个值为1. 9分 （3）由题意可设，可知. 与直线垂直， ，即 ，解得 ，又， . ， ， 当且仅当时，等号成立. 此时四边形面积有最小值. 16分22. 解（1）设椭圆的标准方程为， ，即椭圆的方程为， 点（）在椭圆上， ， 解得 或（舍）， 由此得，即椭圆的标准方程为. 5分 （2）设直线的方程为， 6分 与椭圆的交点()、()，则有， 解得 ， ， ，即 .则 ， 中点的坐标为. 11分 线段的中点在过原点的直线 上. 13分 （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心. 18分