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第一章 1.3 第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．下列全称命题中假命题的个数( )
①2x＋1是整数(x∈R)；
②对全部的x∈R，x>3；
③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；
④任何直线都有斜率．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 ①②④是假命题．
2．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有些实数的确定值是正数
B．全部平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相像的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
3．下列命题中正确的是( )
A．对全部正实数t，有<t
B．不存在实数x，使x<4，且x2＋5x－24＝0
C．存在实数x，使|x＋1|≤1且x2>0
D．不存在实数x，使x3＋x＋1＝0
答案 C
解析 选项A不正确，如t＝时，有>t；选项B不正确，如x＝3<4，而x2＋5x－24＝0；选项D不正确，设f(x)＝x3＋x＋1，f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，故方程x3＋x＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根．对于C，x＝－1时即满足条件，故选C.
4．已知命题p：∀x∈R，x2＋x－6<0，则命题綈p是( )
A．∀x∈R，x2＋x－6≥0
B．∃x∈R，x2＋x－6≥0
C．∀x∈R，x2＋x－6>0
D．∃x∈R，x2＋x－6<0
答案 B
解析 全称命题的否定为特称命题，选B.
5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
答案 C
解析 由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对全部的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.
6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
答案 A
解析 若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：∀x∈R，mx2＋1>0与綈q：∃x∈R， x2＋mx＋1≤0均为真命题．依据綈p：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，依据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.
二、填空题
7．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．
答案 ∃x0，y0∈R，x0＋y0>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假
8．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
答案 对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
9若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 －2≤a≤2
解析 由于“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.
10．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．
则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．
答案 q1，q4
解析 p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，
∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4.
11．已知：p：>0，则綈p对应的x的集合为______________．
答案 {x|－1≤x≤2}
解析 p：>0⇔x>2或x<－1
∴綈p：－1≤x≤2
12．设命题p：若a>b，则<；命题q：<0⇔ab <0.给出下面四个复合命题：①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．其中真命题的个数有________个．
答案 2个
解析 p假，q真，故①④真
三、解答题
13．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
答案 －2≤m≤－1
解析 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.
若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x<0，明显不恒成立；
当m≠0时，有∴m<－1.
若q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，
则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.
又p∧q为真，故p、q均为真命题．
∴∴－2≤m<－1.
14．已知命题p：|x2－x|≥6; q：x∈Z，若“p∧q”与“綈q”同时为假命题，求x的值．
答案 －1,0,1,2
解析 ∵“p且q”为假，
∴p、q中至少有一个命题为假命题；
又“綈q”为假，∴q为真，从而知p为假命题
故有即得
∴x的值为：－1,0,1,2
15．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：不等式3x－9x＜a对一切正实数均成立．假如命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
答案 0≤a≤1
解析 若命题p为真，即ax2－x＋a＞0恒成立，
则有，∴a＞1.
令y＝3x－9x＝－(3x－)2＋，由x＞0得3x＞1，
∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0)．
∴若命题q为真，则a≥0.
由命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，得命题p、q一真一假．
当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1.
拓展练习·自助餐
1．下列命题中正确的是( )
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∃x∈R，x2＋x－1≥0
答案 B
解析 若p∨q为真命题，则p、q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．
2．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
答案 C
解析 特称命题的否定是全称命题．
3．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．
答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”
4．已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：函数y＝(2a－1)x为减函数，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤ B．0<a<
C.<a≤ D.<a<1
答案 C
解析 命题p等价于≤1,3a≤2，即a≤.命题q：由函数y＝(2a－1)x为减函数得：0<2a－1<1，即<a<1.由于“p且q”为真命题，所以p和q均为真命题，所以取交集得<a≤，因此选C.
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