2021版《·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业4-等差数列的性质及应用.docx

课时作业4　等差数列的性质及应用
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．10
【答案】　A
【解析】　本题考查等差数列的基本性质等差中项．
由等差中项知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故选A.
2．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则此数列中确定值最小的一项为(　　)
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
【答案】　B
【解析】　an＝70＋(n－1)·(－9)＝－9n＋79，明显当n＝9时，|a9|＝2最小．
3．数列{an}中，a3＝2，a5＝1，假如数列{}是等差数列，则a11＝(　　)
A. B．0
C．－ D．－
【答案】　B
【解析】　∵{}是等差数列，设公差为d，则
－＝－＝＝2d，∴d＝，
∴＝＋6d＝＋6×＝1，∴a11＝0.
4．假如a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则(　　)
A．a1a8>a4a5 B．a1a8<a4a5
C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8＝a4·a5
【答案】　B
【解析】　由于a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2，且d≠0，所以a1a8－a4a5＝－12d2<0.即a1a8<a4a5，故选B.
5．{an}是首项为a1＝3，公差d＝3的等差数列，假如an＝2 010，则序号n等于(　　)
A．667 B．668
C．670 D．671
【答案】　C
【解析】　由通项公式an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝2 010，解得n＝670，故选C.
6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．7
【答案】　B
【解析】　设数列{an}公差为d，
∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105.
∴a3＝35.
同理，由a2＋a4＋a6＝99得a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2.
a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
7．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
【答案】　B
【解析】　a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1⇒d＝－.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等差数列{an}中，a3＋a11＝40，则a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10的值为________．
【答案】　60
【解析】　观看下标，利用性质即可．利用性质可得a4＋a10＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝a3＋a11＝40⇒a7＝20，从而a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝3a7＝60.
9．首项是－56的等差数列，从第9项开头为正数，则公差d的取值范围是________．
【答案】　7<d≤8
【解析】　∵an＝a1＋(n－1)d，由题意，得

∴7<d≤8.
10．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】　－
【解析】　－＝1，－＝－1，
＝－1，{}是以为首项，以－1为公差的等差数列，＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，an＝－.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)在等差数列{an}中，公差为d，且a15＝8，a60＝20，求a75.
【解析】　由已知条件，依据通项公式列出关系式解方程组可得出通项公式，然后代入即可求得．
解法一：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
解法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
12．(15分)已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数．
【分析】　本题考查等差数列的性质以及等差中项公式的应用.5个数成等差数列，另有两个已知条件，可利用方程组求解．
【解析】　解法一：设5个数依次为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，
则
∴解得或
∴5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
解法二：设这5个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
则
∴∴
故这5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
13．(20分)已知f(x)是定义在非零自然数集上的函数，当x为奇数时，有f(x＋1)－f(x)＝1，当x为偶数时，有f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.
(1)求证：f(1)，f(3)，…，f(2n－1)(n∈N＋)成等差数列；
(2)求f(n)的解析式．
【解析】　(1)证明：当x为奇数时，x＋1为偶数，代入已知等式有f(x＋1)－f(x)＝1，①
f(x＋2)－f(x＋1)＝3.②
①＋②得f(x＋2)－f(x)＝4为常数．
又由于
所以
所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)构成首项为2，公差为4的等差数列．
(2)由(1)知，当n为奇数时，f(n＋2)－f(n)＝4，f(1)＝2，
所以当n＝2k－1时，f(n)＝f(2k－1)＝2＋(k－1)×4＝2n.
当n为偶数时，n＋1为奇数，f(n＋1)－f(n)＝3，f(n＋2)－f(n＋1)＝1，所以f(n＋2)－f(n)＝4.
所以f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列．
所以当n＝2k时，f(n)＝f(2k)＝3＋(k－1)×4＝2n－1，
综上所述，f(n)＝