1、
课时作业4 等差数列的性质及应用
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
【答案】 A
【解析】 本题考查等差数列的基本性质等差中项．
由等差中项知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故选A.
2．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则此数列中确定值最小的一项为( )
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
【答案】 B
【解析】 an＝70＋(n－1)·(－9)＝－9n＋79，明显当n＝
2、9时，|a9|＝2最小．
3．数列{an}中，a3＝2，a5＝1，假如数列{}是等差数列，则a11＝( )
A. B．0
C．－ D．－
【答案】 B
【解析】 ∵{}是等差数列，设公差为d，则
－＝－＝＝2d，∴d＝，
∴＝＋6d＝＋6×＝1，∴a11＝0.
4．假如a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8a4＋a5 D．a1a8＝a4·a5
【答案】 B
【解析】 由于a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2，且d
3、≠0，所以a1a8－a4a5＝－12d2<0.即a1a84、105.
∴a3＝35.
同理，由a2＋a4＋a6＝99得a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2.
a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
7．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A．－2 B．－
C. D．2
【答案】 B
【解析】 a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1⇒d＝－.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等差数列{an}中，a3＋a11＝40，则a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10的值为________．
【答案】 60
【解析】 观看下标，利用性质即可．利用性质可得a
5、4＋a10＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝a3＋a11＝40⇒a7＝20，从而a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝3a7＝60.
9．首项是－56的等差数列，从第9项开头为正数，则公差d的取值范围是________．
【答案】 76、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)在等差数列{an}中，公差为d，且a15＝8，a60＝20，求a75.
【解析】 由已知条件，依据通项公式列出关系式解方程组可得出通项公式，然后代入即可求得．
解法一：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
解法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
12．(15分)已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数．
【分析】 本题考查等差数列的性质
7、以及等差中项公式的应用.5个数成等差数列，另有两个已知条件，可利用方程组求解．
【解析】 解法一：设5个数依次为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，
则
∴解得或
∴5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
解法二：设这5个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
则
∴∴
故这5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
13．(20分)已知f(x)是定义在非零自然数集上的函数，当x为奇数时，有f(x＋1)－f(x)＝1，当x为偶数时，有f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.
(1)求证：f(1)，f(3)，…，f(2n－
8、1)(n∈N＋)成等差数列；
(2)求f(n)的解析式．
【解析】 (1)证明：当x为奇数时，x＋1为偶数，代入已知等式有f(x＋1)－f(x)＝1，①
f(x＋2)－f(x＋1)＝3.②
①＋②得f(x＋2)－f(x)＝4为常数．
又由于
所以
所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)构成首项为2，公差为4的等差数列．
(2)由(1)知，当n为奇数时，f(n＋2)－f(n)＝4，f(1)＝2，
所以当n＝2k－1时，f(n)＝f(2k－1)＝2＋(k－1)×4＝2n.
当n为偶数时，n＋1为奇数，f(n＋1)－f(n)＝3，f(n＋2)－f(n＋1)＝1，所以f(n＋2)－f(n)＝4.
所以f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列．
所以当n＝2k时，f(n)＝f(2k)＝3＋(k－1)×4＝2n－1，
综上所述，f(n)＝
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
