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课时作业3 等差数列的概念和通项公式
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2 011－2 012n，则此数列( )
A．是首项为2 011的等差数列
B．是首项为－1且公差为2 012的等差数列
C．是公差为2 011的递增等差数列
D．是首项为－1且公差为－2 012的递减等差数列
【答案】 D
【解析】 a1＝－1，an＋1－an＝[2 011－2 012(n＋1)]－(2 011－2 012n)＝－2 012<0.故选D.
2．已知在数列{an}中，an＋1－an＝2，且a1＝2，则这个数列的第10项为( )
A．18 B．19
C．20 D．21
【答案】 C
【解析】 由条件知{an}是公差为2的等差数列，故a10＝a1＋9d＝2＋9×2＝20.
3．在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B
【解析】 ∵a1＋a5＝10＝2a3，
∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.
4．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，a2＋a10＝14，则a4的值为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
【答案】 A
【解析】 由a1＋a9＝10，a2＋a10＝14得d＝2，
∵a1＋a9＝2a1＋8d＝10，
∴a1＝－3，∴a4＝－3＋3×2＝3.
5．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝( )
A．2n B．2n－1
C．n－1 D．2n＋1
【答案】 B
【解析】 设等差数列{an}的公差为d(d>0)．
由a3＝a－4得a1＋2d＝(a1＋d)2－4，即1＋2d＝(1＋d)2－4，d2＝4.又{an}是递增数列，所以d＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
6．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}( )
A．是常数列 B．是等差数列
C．是摇摆数列 D．非以上三种数列
【答案】 B
【解析】 an＝⇒
∴an＝2n－1(n∈N＋)．
又an＋1－an＝2为常数，
∴{an}是等差数列．
7．设数列{an}是递增的等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】 B
【解析】 设等差数列{an}前三项分别为a－d，a，a＋d，依题意得
解得
所以首项为a－d＝2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
【答案】 13
【解析】 等差数列{an}的公差为d，则由已知得
∴
∴a6＝a1＋5d＝13.
9．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值为________．
【答案】 log25
【解析】 lg(2x－1)－lg2＝lg(2x＋3)－lg(2x－1)，
∴2(2x＋3)＝(2x－1)2，
∴(2x)2－4×2x－5＝0，
∴2x＝5，∴x＝log25.
10．在数列{an}中，a1＝3且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则an＝________.
【答案】 3n2
【解析】 ∵点(，)在直线x－y－＝0上，
∴－＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列．
∴数列的通项公式为＝＋(n－1)＝n，
∴an＝3n2.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)数列{an}是等差数列，bn＝kan＋b(k，b是常数，n∈N＋)，求证：数列{bn}也是等差数列．
【解析】 证明：由于{an}是等差数列，所以an＋1－an为常数，不妨设为d.所以bn＋1－bn＝(kan＋1＋b)－(kan＋b)＝k(an＋1－an)＝kd(常数)，所以数列{bn}为等差数列．
12．(15分)已知等差数列{an}中，(1)an＝2n＋3，求a1和d；(2)a7＝131，a14＝61，求a100，并推断0是不是该数列的项？
【解析】 (1)∵an＝2n＋3，∴a1＝2×1＋3＝5.
∴d＝an＋1－an＝2(n＋1)＋3－(2n＋3)＝2.
(2)设数列{an}的公差为d，由题意知
解得
故an＝a1＋(n－1)·d＝－10n＋201.
∴a100＝－10×100＋201＝－799.
令－10n＋201＝0，
解得n＝20.1∉N＋，
∴0不是该数列的项．
13．(20分)第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典进行，此后每4年进行一次，奥运会如因故不能进行，届数照算．
(1)试写出由进行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)2008年北京奥运会是第几届？2050年进行奥运会吗？
【解析】 (1)由题意知，进行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为an＝1 896＋4(n－1)＝1 892＋4n(n∈N＋)．
(2)假设an＝2 008，由2 008＝1 892＋4n，得n＝29.
假设an＝2 050,2 050＝1 892＋4n无正整数解．
所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不进行奥运会．
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