高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章-拓展资料：复数问题的六种简求策略.docx

复数问题的六种简求策略
复数是初等数学与高等数学的一个重要连接点，它涉及到高中数学的很多分支，是每年高考中必考的内容，为挂念同学们把握这部分内容，本文介绍几种简求复数题的常用方法，供参考。
一、特殊值法
对于含有参数范围的题目，可选定参数范围内一特值代入，进行估算，可排解干扰支，确定应选支。
例1．当＜m＜1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
分析：由于＜m＜1,取m=，则z=i,对应的点在第四象限，故选D。
二、运用特殊等式
记牢一些常用的特殊等式，如（1±i）2=±2i，（±）3=1等，有助于复数运算题的快速解决。
例2．计算（1－i）6·（）97
解：原式=[（1-i ）2]3·（）96·（）
=（-2i）3·（－）3×32·（）
=8i·（）=－4－4i
三、运用共轭复数的性质
共轭复数的性质很多，如z为实数z=，z为纯复数z=-，z·=|z|2等，若能机敏运用，可简化解题。
例3．设复数z满足|z|=2，求|z2-z+4|的最大值和最小值。
解析：由|z|=2，得|z|2=z·=4，则|z2-z+4|=|z2-z+z·|=|z（z-1+）|=2|（z -1+|，若设z=a+bi（-2≤a≤2，-2≤b≤2），则|z2-z+4|=2|a+bi-1+a-bi|=2|2a-1|。
∴当a=时，|z2-z+4|min=0，当a=－2时，|z2－z+4|max=10
四、两边同取模
假如一个复数等式中，一边能够表示成实部和虚部，接受两边取模后，可将虚数问题转化为实数问题。
例4．设复数z满足关系式z+||=2+ i，那么z等于（ ）
A．+i B．-i C． D．
分析：原关系式可化为z=2-||+i，又|z|=||且为实数，两边取模得|z|=，解得|z|=，则z=2-+i=+ i，故应选D。
五、运用整体思想
有些复数问题，若从整体上去观看、分析题设的结构特征，充分利用复数的有关概念和性质，对问题进行整体处理，可得妙解。
例5．求同时满足下列条件的全部复数z①z +是实数，且1＜z+≤6，②z的实部与虚部均为整数。
解析：观看给出式，可设μ=z+，则μ∈R，且1＜μ≤6，整理得z2- μz+10=0，则△=μ2-40＜0，由求根公式得z=±i由条件②知是整数，则μ=2，或4或6，当μ=2时，z=1±3i，当μ=4时，z=2±i（不合题意，舍去），当μ=6时，z=3±i故满足条件的复数z=1±3i，或z=3±i。
六、活用复数的几何意义
在深刻理解复数几何意义的基础上，将复数问题转化为几何问题，借助几何图形的直观化可快速解题。
例6．已知z1、z2∈C，且|z1|=1，若z1+z2=2i，则|z1-z2|的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
分析：由|z1|=1，且z1=2i-z2知|z2-2i|=1，依据模的几何意义知z1、z2分别在单位圆及以2i为圆心的圆上，则z1、z2对应的两点间距离|z1-z2|的最大值为两圆的连心线长加上两圆的半径长即|z1-z2| max =2+2=4，故选C。