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第六章 第一节
一、选择题
1．(文)数列，，2，…，则2是该数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
[答案] B
[解析] 原数列可写成，，，…，
∵2＝，∴20＝2＋(n－1)×3，
∴n＝7.
(理)数列1，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
[答案] D
[解析] ∵1可以看成，∴分母为3,5,7,9，即2n＋1，分子可以看成1×3,2×4,3×5,4×6，故为n(n＋2)，即an＝.
2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝
[答案] C
[解析] 从图中可观看星星的构成规律：n＝1时有1个，排解B、D；n＝3时有6个，排解A．
3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为( )
A．30 B．31
C．32 D．33
[答案] B
[解析] 由递推公式求得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31，故选B．
4．(文)数列1，，，，，…的一个通项公式an等于( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 由已知得，数列可写成，，，….
故通项为.
(理)已知数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2)，则a2021等于( )
A．－ B．
C．2 D．－2
[答案] C
[解析] ∵an＋2＝－＝an，
∴数列奇数项相同，偶数项相同．∴a2 015＝a1＝2.
5．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2022＝( )
A．5 B．－5
C．1 D．－4
[答案] D
[解析] 由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…，以6为周期，由此可得a2022＝a6＝－4，故选D．
6．数列{－2n2＋29n＋3}中最大项是( )
A．107 B．108
C．108 D．109
[答案] B
[解析] an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n－)2＋108，
∵＝7且n∈N*，
∴当n＝7时，an最大，最大值为a7＝108.故选B．
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，若它的第k项满足5<ak<8，则k的值为________．
[答案] 8
[解析] 由于Sn＝n2－9n，则Sn－1＝(n－1)2－9(n－1)(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－10.
当n＝1时，a1＝S1＝－8满足上式．
所以an＝2n－10(n∈N＋)．
由已知5<ak<8，即5<2k－10<8.
解得7.5<k<9.又k∈N＋，所以k＝8.
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a2021＝________.
[答案] －
[解析] 由已知条件可推得a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－故可知数列{an}的周期为3，所以a2021＝a2＝－.
9．(文)数列{an}中，an＝，Sn＝9，则n＝________.
[答案] 99
[解析] an＝＝－，
∴Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)
＝－1＝9，
∴n＝99.
(理)将全体正整数排成一个三角形数阵：
依据以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[答案]
[解析] 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
三、解答题
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，
∴a2＝a1＋4＝5，
a3＝a2＋7＝12.
(2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得：
an－an－1＝3n－2，由递推关系，
得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，
累加得：
an－a1＝4＋7＋…＋3n－2
＝＝，
∴an＝(n≥2)．
当n＝1时，1＝a1＝＝1，
∴数列{an}的通项公式为an＝.
一、选择题
1．若数列{an}(n∈N＋)的首项为14，前n项的和为Sn，点(an，an＋1)在直线x－y－2＝0上，那么下列说法正确的是( )
A．当且仅当n＝1时，Sn最小
B．当且仅当n＝8时，Sn最大
C．当且仅当n＝7或8时，Sn最大
D．Sn有最小值，无最大值
[答案] C
[解析] 由题意得：an－an＋1－2＝0，则an＋1－an＝－2，所以数列{an}是以a1＝14，d＝－2的等差数列，
则Sn＝14n＋×(－2)＝－n2＋15n，
所以当且仅当n＝7或8时，Sn最大．
2．(文)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2 015的值是( )
A．2 012×2 013 B．2 014×2 015
C．2 0142 D．2 013×2 014
[答案] B
[解析] 解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相近两整数乘积的形式，可变形为：
a1＝0×1，a2＝1×2，a3＝2×3，a4＝3×4，
猜想a2 015＝2 014×2 015，故选B．
解法2：an－an－1＝2(n－1)，
an－1－an－2＝2(n－2)，
…
a3－a2＝2×2，
a2－a1＝2×1.
全部等式左右两边分别相加
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]．
∴an－a1＝2＝n(n－1)．
∴an＝n(n－1)．故a2 015＝2 014×2 015.
(理)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )
A．(5,5) B．(5,6)
C．(5,7) D．(5,8)
[答案] C
[解析] 按规律分组：第一组(1,1)，其次组(1,2)，(2,1)，第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)，则前10组共有＝55个有序实数对．第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．
二、填空题
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
[答案] 3·21－n
[解析] 4Sn－4Sn－1＝4an＝6an－an－1，
∴＝，
∴an＝a1()n－1＝3·21－n.
4．(文)已知an＝(n∈N＋)，则在数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．
[答案] 10 9
[解析] an＝＝＝1＋
当1≤n≤9时，<0，an递减．
当n≥10时，>0，an递减．
∴最大项为a10，最小项为a9.
(理)若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________.
[答案] 4
[解析] 本题考查了求数列中最大项问题，可利用来求解；
由题意可列不等式组，
即，
化简可得解之得≤k≤1＋，
又∵k∈N＋，∴k＝4.
三、解答题
5．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)推断数列{cn}的增减性．
[解析] (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴an＝，∴bn＝.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－<0，
∴{cn}是递减数列．
6．(文)(2021·河北质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．
[解析] (1)当n＝1时，S1＝a1＝a1－1，所以a1＝2.
∵Sn＝an－1， ①
∴当n≥2时，Sn－1＝an－1－1， ②
①－②，得an＝(an－1)－(an－1－1)，
所以an＝3an－1，又a1≠0，故an－1≠0，
所以＝3，
故数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an＝2·3n－1.
(2)由(1)知bn＋1＝bn＋2·3n－1.
当n≥2时，bn＝bn－1＋2·3n－2，
…
b3＝b2＋2·31，
b2＝b1＋2·30，
将以上n－1个式子相加并整理，得bn＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×＝3n－1＋4.
当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1，
所以bn＝3n－1＋4(n∈N*)．
(理)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N＋.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式.
[解析] (1)依题意，2S1＝a2－－1－，
又S1＝a1＝1，所以a2＝4；
(2)解法1：当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
即－＝1，又－＝1
故数列{}是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
解法2：由于＝an＋1－n2－n－，
所以＝Sn＋1－Sn－n2－n－.
整理得Sn＝Sn＋1－(n＋1)(n＋2)，
所以－＝，
所以数列{}是首项为，
公差为的等差数列，
所以＝＋(n－1)＝，
所以Sn＝，
所以Sn－1＝，(n≥2)．
所以an＝Sn－Sn－1＝n2(n≥2)．
由于a1＝1符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝n2(n∈N＋)．
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