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第一章 第一节
一、选择题
1．(文)(2022·北京高考)若集合A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，则A∩B＝( )
A．{0,1,2,3,4} B．{0,4}
C．{1,2} D．{3}
[答案] C
[解析] A∩B＝{0,1,2,4}∩{1,2,3}＝{1,2}．
(理)(2022·北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
[答案] C
[解析] 集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，故A∩B＝{0,2}，选C.
2．(文)(2022·湖南高考)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B＝( )
A．{x|x>2} B．{x|x>1}
C．{x|2<x<3} D．{x|1<x<3}
[答案] C
[解析] 结合数轴可知A∩B＝{x|2<x<3}．
(理)(2022·陕西高考)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
[答案] B
[解析] x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝{x|0≤x<1}．
3．(文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁UQ)＝( )
A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5} D．{1,2}
[答案] D
[解析] 本题考查了集合的交、补运算，由已知得
P∩(∁UQ)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．
(理)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝( )
A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
[答案] B
[解析] 本题考查了集合的运算．
x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，
∴∁RB＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁RB)＝{x|3<x<4}．
4．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}则( )
A．AB B．BA
C．A＝B D．A∩B＝∅
[答案] B
[解析] 由题意可得，A＝{x|－1<x<2}，而B＝{x|－1<x<1}，故BA.
5．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的非空真子集共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
[答案] A
[解析] 由已知得P＝M∩N＝{1,3}，
所以P的非空真子集有22－2＝2个．故选A.
6．(文)(2021·浙江名校联考)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a<1
C．a≥2 D．a>2
[答案] C
[解析] 由于A∪∁RB＝R，∴B⊆A，∴a≥2，故选C.
(理)(2021·唐山调研)己知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|log4x>}，则( )
A．A⊆B B．B⊆A
C．A∩∁RB＝R D．A∩B＝∅
[答案] D
[解析] ∵x2－3x＋2<0，∴1<x<2.
又log4x>＝log42，∴x>2，∴A∩B＝∅，选D.
二、填空题
7．已知集合A＝{3，，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则a的值为________．
[答案] －
[解析] 由于A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝或a＝－；当a＝时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－.
8．(文)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
[答案] －3
[解析] ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，
∴m＝－3.
(理)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
[答案] [2，＋∞)
[解析] ∵∁RB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
9．若集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．
[答案] 6
[解析] 由(x－1)2<3x＋7得x2－5x－6<0，
∴A＝(－1,6)，因此A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．
三、解答题
10．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．
(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)；
(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[分析] (1)求A、B→确定A∪B，∁UB→求得A∩(∁UB)；
(2)明确A、B→建立有关m的关系式→得m的范围；
(3)A∩B＝A→A⊆B→得m的范围．
[解析] (1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4，
∴A＝{x|－2<x<4}．
当m＝3时，由x－m<0，得x<3，∴B＝{x|x<3}，
∴U＝A∪B＝{x|x<4}，∁UB＝{x|3≤x<4}．
∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x<4}．
(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，
又 A∩B＝∅，∴m≤－2.
(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，
由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.
一、选择题
1．(文)(2021·沈阳质检)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，) B．[，)
C．[，＋∞) D．(1，＋∞)
[答案] B
[解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，由于函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a，a>0，f(0)＝－1<0，所以依据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以所以≤a<.选B.
(理)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于( )
A．A B．B
C．(∁UA)∩B D．A∩(∁UB)
[答案] B
[解析] 画一个一般状况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.
2．设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4a2＋4a＋2，a∈R}，则下列关系正确的是( )
A．M＝N B．MN
C．MN D．M⊆N
[答案] A
[解析] 由x＝5－4a＋a2(a∈R)，
得x＝(a－2)2＋1≥1，故M＝{x|x≥1}．
由y＝4a2＋4a＋2(a∈R)，得y＝(2a＋1)2＋1≥1.
故N＝{y|y≥1}，故M＝N.故选A.
二、填空题
3．(文)A＝{(x，y)|x2＝y2}，B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝______.
[答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析] A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
(理)已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
[答案] (2,3)
[解析] B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.
又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.
∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2<a<3.
4．(2021·长沙模拟)已知向量a＝(x，y)，b＝(x－2,1)，设集合P＝{x|a⊥b}，Q＝{x||b|<}，当x∈P∩Q时，y的取值范围是________．
[答案] (－8,1]
[解析] 由a⊥b可得a·b＝x(x－2)＋y＝0，
即y＝－x2＋2x，故P＝{x|y＝－x2＋2x}＝R.
由|b|<得|b|2<5，即(x－2)2＋12<5，
解得0<x<4，故Q＝{x|0<x<4}，P∩Q＝Q.
所以当x∈P∩Q时，y的取值范围即为函数y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域．
由于函数y＝－x2＋2x图像的对称轴为x＝1，
所以函数在(0,1]上单调递增，在(1,4)上单调递减，
故y的最大值为－12＋2×1＝1，
而x＝0时，y＝－02＋2×0＝0；
x＝4时，y＝－42＋2×4＝－8.
所以y的取值范围为(－8,1]．
三、解答题
5．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；
(2){9}＝A∩B.
[解析] (1)∵9∈(A∩B)，
∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，
∴a＝5或a＝－3或a＝3，
经检验a＝5或a＝－3符合题意．
∴a＝5或a＝－3.
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，
由(1)知a＝5或a＝－3
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，
此时A∩B＝{9}，
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，
此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．
综上知a＝－3.
6．(文)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
[分析] 由A∪B＝B，可以得出A⊆B，
而A⊆B中含有特例A＝∅，应留意．
[解析] 由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，
(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.
(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，
当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；
但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．
故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.
(理)(临川模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．
[解析] ∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，
∴A＝{x|2<x<4}．
(1)当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要使A⊆B，
应满足⇒≤a≤2，
当a<0时，B＝{x|3a<x<a}．要使A⊆B，
应满足，不等式组无解，即不存在符合条件的a，
∴综上可知，当A⊆B时，a的取值范围是≤a≤2.
(2)要满足A∩B＝∅，
当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，
若A∩B＝∅，则a≥4或3a≤2，
∴0<a≤或a≥4；
当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，
若A∩B＝∅，则a≤2或a≥，
∴a<0；
验证知当a＝0时也成立．
综上所述，a≤或a≥4时，A∩B＝∅.
(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，明显a>0且a＝3时成立，
∵此时B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，
故所求a的值为3.
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