【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第1章-第1节-集合的概念及其运算.docx

第一章　第一节

一、选择题
1．(文)(2022·北京高考)若集合A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，则A∩B＝(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{0,4}
C．{1,2}　 D．{3}
[答案]　C
[解析]　A∩B＝{0,1,2,4}∩{1,2,3}＝{1,2}．
(理)(2022·北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2}　 D．{0,1,2}
[答案]　C
[解析]　集合A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，故A∩B＝{0,2}，选C.
2．(文)(2022·湖南高考)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|12} B．{x|x>1}
C．{x|2Q＝{3,4,5}，则P∩(∁UQ)＝(　　)
A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5}　 D．{1,2}
[答案]　D
[解析]　本题考查了集合的交、补运算，由已知得
P∩(∁UQ)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．
(理)设集合A＝{x|13}．∴A∩∁RB)＝{x|3}，B＝{x|12
[答案]　C
[解析]　由于A∪∁RB＝R，∴B⊆A，∴a≥2，故选C.
(理)(2021·唐山调研)己知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|log4x>}，则(　　)
A．A⊆B B．B⊆A
C．A∩∁RB＝R　 D．A∩B＝∅
[答案]　D
[解析]　∵x2－3x＋2<0，∴1＝log42，∴x>2，∴A∩B＝∅，选D.
二、填空题
7．已知集合A＝{3，，2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝{2}，则a的值为________．
[答案]　－
[解析]　由于A∩B＝{2}，所以a2＝2，所以a＝或a＝－；当a＝时，不符合元素的互异性，故舍去，所以a＝－.
8．(文)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
[答案]　－3
[解析]　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，
∴m＝－3.
(理)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
[答案]　[2，＋∞)
[解析]　∵∁RB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
9．若集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．
[答案]　6
[解析]　由(x－1)2<3x＋7得x2－5x－6<0，
∴A＝(－1,6)，因此A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．
三、解答题
10．若集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}．
(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)；
(2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[分析]　(1)求A、B→确定A∪B，∁UB→求得A∩(∁UB)；
(2)明确A、B→建立有关m的关系式→得m的范围；
(3)A∩B＝A→A⊆B→得m的范围．
[解析]　(1)由x2－2x－8<0，得－2质检)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．[，)
C．[，＋∞)　 D．(1，＋∞)
[答案]　B
[解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，由于函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a，a>0，f(0)＝－1<0，所以依据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以所以≤a<.选B.
(理)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于(　　)
A．A B．B
C．(∁UA)∩B　 D．A∩(∁UB)
[答案]　B
[解析]　画一个一般状况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.

2．设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4a2＋4a＋2，a∈R}，则下列关系正确的是(　　)
A．M＝N B．MN
C．MN　 D．M⊆N
[答案]　A
[解析]　由x＝5－4a＋a2(a∈R)，
得x＝(a－2)2＋1≥1，故M＝{x|x≥1}．
由y＝4a2＋4a＋2(a∈R)，得y＝(2a＋1)2＋1≥1.
故N＝{y|y≥1}，故M＝N.故选A.
二、填空题
3．(文)A＝{(x，y)|x2＝y2}，B＝{(x，y)|x＝y2}，则A∩B＝______.
[答案]　{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析]　A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
(理)已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(2,3)
[解析]　B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.
又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.
∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴21·长沙模拟)已知向量a＝(x，y)，b＝(x－2,1)，设集合P＝{x|a⊥b}，Q＝{x||b|<}，当x∈P∩Q时，y的取值范围是________．
[答案]　(－8,1]
[解析]　由a⊥b可得a·b＝x(x－2)＋y＝0，
即y＝－x2＋2x，故P＝{x|y＝－x2＋2x}＝R.
由|b|<得|b|2<5，即(x－2)2＋12<5，
解得0
故y的最大值为－12＋2×1＝1，
而x＝0时，y＝－02＋2×0＝0；
x＝4时，y＝－42＋2×4＝－8.
所以y的取值范围为(－8,1]．
三、解答题
5．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
(1)9∈(A∩B)；
(2){9}＝A∩B.
[解析]　(1)∵9∈(A∩B)，
∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，
∴a＝5或a＝－3或a＝3，
经检验a＝5或a＝－3符合题意．
∴a＝5或a＝－3.
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，
由(1)知a＝5或a＝－3
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，
此时A∩B＝{9}，
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，
此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．
综上知a＝－3.
6．(文)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
[分析]　由A∪B＝B，可以得出A⊆B，
而A⊆B中含有特例A＝∅，应留意．
[解析]　由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，
(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.
(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，
当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；
但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．
故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.
(理)(临川模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|30时，B＝{x|a0时，B＝{x|a0且a＝3时成立，
∵此时B＝{x|3