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第六章 第三节
一、选择题
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64 B．81
C．128 D．243
[答案] A
[解析] 设数列{an}的公比为q，则q＝＝2，
∴由a1＋a1q＝3得a1＝1，∴a7＝1×27－1＝64.
2．(文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝2，则a1＝( )
A．2 B．
C． D．
[答案] B
[解析] ∵a3·a9＝(a6)2＝2a，
∴()2＝2，又{an}的公比为正数，
∴q＝＝.∴a1＝＝.
(理)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )
A．5 B．7
C．6 D．4
[答案] A
[解析] ∵{an}为正项等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，且a4a5a6>0，
∴a4a5a6＝＝5，故选A．
3．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则 ＝( )
A．1 B．－3
C．1或－3 D．－1或3
[答案] A
[解析] 由a2a6＝16，得a＝16⇒a4＝±4，
又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，
∵q4>0，∴a4＝4.
∴q2＝1，＝q10＝1.
4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
[答案] C
[解析] 由a5·a2n－5＝22n(n≥3)，得a＝22n，∵an>0，∴an＝2n.易得结论．
5．(文)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
[答案] D
[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类争辩思想．
a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，
a4＝4，a7＝－2⇔a1＝－8，a10＝1⇔a1＋a10＝－7，
a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇔a1＋a10＝－7.
(理)(2022·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 依题意，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；
当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，an＝2n－1也适合a1.
因此，an＝2n－1，＝2，数列{an}是等比数列．
数列{an}的奇数项的前n项和为＝.
6．等比数列{an}的公比为q，则“a1>0，且q>1”是“对于任意正整数n，都有an＋1>an”的( )
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
[答案] A
[解析] 易知，当a1>0且q>1时，an>0，
所以＝q>1，表明an＋1>an；
若对任意自然数n，都有an＋1>an成立，
当an>0时，同除an得q>1，
但当an<0时，同除an得0<q<1.
也可举反例，如an＝－.
二、填空题
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.
[答案] 11
[解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，
设{an}公比为q，则an＋2＋an＋1 －2an＝a1qn＋1＋a1qn－2a1qn－1＝0，所以q2＋q－2＝0，即q＝－2，q＝1(舍去)，
∴S5＝＝11.
8．在等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于________．
[答案] (4n－1)
[解析] 由a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，
∴a1＝1，a2＝2，q＝2
又∵{an}是等比数列
∴{a}也是等比数列，首项为1，公比为4
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
9．(文)(2022·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
[答案] 5
[解析] 本题考查等比中项及对数的运算．
∵an>0，a1a5＝4，{an}为等比数列，∴a＝4，∴a3＝2.
∴log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5
＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a＝log225＝5.
(理)(2022·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.
[答案] 50
[解析] ∵a10a11＋a9a12＝2e5，∴a1·a20＝e5.
又∵lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)
＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]
＝ln(e5)10＝lne50＝50.
留意等比数列性质：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，对数的性质logamn＝nlogam.
三、解答题
10．(文)(2022·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
[解析] (1)∵Sn＝(n∈N*)
∴Sn－1＝(n≥2)
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝＝3n－2
当n＝1时，a1＝S1＝＝1，也符合上式
∴an＝3n－2，(n∈N*)
(2)要使a1，an，am成等比数列，只需a＝a1.am
即(3n－2)2＝1·(3m－2)
即m＝3n2－4n＋2，∵n>1，∴3n2－4n＋2>1，而此时，m∈N*，且m>n
∴对任意的n>1，都存在m∈N*，使a，an，am成等比数列．
(理)(2022·江西高考)已知首项都是1的两个数列{an}、{bn}(bn≠0，n∈N*)，满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
[解析] (1)由于anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.
所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.
(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1.
∴数列{an}前n项和
Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1.
∴3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n.
相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n.所以Sn＝(n－1)3n＋1.
一、选择题
1．(文)在正项等比数列{an}中，若a2·a4·a6·a8·a10＝32，则log2a7－log2a8＝( )
A． B．
C． D．
[答案]D
[解析] ∵a2·a4·a6·a8·a10＝32，∴a6＝2，
∴log2a7－log2a8＝log2＝log2＝log2＝log2＝.
(理)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A． B．
C． D．或
[答案] B
[解析] 设{an}的公比为q，则q>0.
∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a1＋a2，∴a1q2＝a1＋a1q，
∵a1≠0，∴1＋q＝q2，
又∵q>0，∴q＝，
∴＝q＝.
2．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为( )
A． B．
C． D．不存在
[答案] A
[解析] 由于a7＝a6＋2a5，所以q2－q－2＝0，
q＝2或q＝－1(舍去)．
又＝＝4a1，所以m＋n＝6.
则＋＝(＋)(m＋n)
＝(1＋＋＋4)≥.
当且仅当＝，即n＝2m时，等号成立．
此时m＝2，n＝4.故选A．
二、填空题
3．(2022·安徽高考)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
[答案] 1
[解析] 设数列{an}的公差为d，则a1＝a3－2d，a5＝a3＋2d，由题意得，(a1＋1)(a5＋5)＝(a3＋3)2，即(a3－2d＋1)·(a3＋2d＋5)＝(a3＋3)2，整理，得(d＋1)2＝0，
∴d＝－1，则q＝＝＝1，故q＝1.
4．若数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则an等于________．
[答案] 2n－1
[解析] an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即
相加：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
∴an＝2n－2＋a1＝2n－1.
三、解答题
5．(文)已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
[解析] (1)由于an＝×n－1＝，
Sn＝＝，所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
(理)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．
[解析] (1)设数列{an}的公比为q.
由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.
由条件可知q>0，故q＝，
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝，
故数列{an}的通项公式为an＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2(－)，
＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.
所以数列{}的前n项和为－.
6．(文)(2022·湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则
T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
(理)(2022·新课标Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
[解析] (1)∵a1＝1，an＋1＝3an＋1，n∈N*.
∴an＋1＋＝3an＋1＋＝3(an＋)．
∴{an＋}是首项为a1＋＝，公比为3的等比数列．
(2)由(1)知，an＋＝，∴an＝，＝.
＝1，当n>1时，＝<.
∴＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋
＝＝(1－)<.
所以，＋＋＋…＋<，n∈N*.
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