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长泰一中2022/2021学年上学期期末考试
高二年理科数学试卷
命题：汤儒兴 审核：杨秀涓
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2 C．4 D．4
2．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
3．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( )
A．ad>bc B．ac>bd
C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d
4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 ( )
A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
5．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于( )
A．2 B．12 C．2 D．28
6.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
7．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8.．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
9．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
10如图，P是双曲线上的动点，、是双曲线的左右焦点，是的平分线上一点，且某同学用以下方法争辩：延长交于点，可知为等腰三角形，且M为的中点，得类似地：P是椭圆上的动点，、是椭圆的左右焦点，M是的平分线上一点，且，则的取值范围是( )
A. B C D
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分
11．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．
12．不等式4x2－mx＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．
13．抛物线y＝2x2的焦点坐标为________．
14．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
15．某车间分批生产某种产品，每批的生产预备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
16(本小题满分13分)
已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
17(本小题满分13分).等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18(本小题满分13分)
已知
求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(3)z＝的范围．
19(本小题满分13分)
.某海疆内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50°且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50°＋θ其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且与A相距60海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度；
(2)若该船不转变航行方向连续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离．
20(本小题满分14分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A- CP D1的体积为。
（1）求CP的长；
（2）求直线AD与平面APD1所成的角的正弦值；
（3）请直接写出正方体的棱上满足C1M∥平面APD1的全部点M的位置，并任选其中的一点予以证明。
21(本小题满分14分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为.
①求四边形APBQ面积的最大值;
②设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,推断+的值是否为常数,并说明理由.
学校 班级 姓名 考号 得分
请 勿 在 密 封 线 内 答 题
长泰一中2022/2021学年上学期期末考试
高二年理科数学答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分
11__________． 12________． 13________．
14________． 15________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
16(本小题满分13分)
17( (本小题满分13分)
18( (本小题满分13分)
19(本小题满分13分)
20(本小题满分14分)
21(本小题满分14分)
长泰一中2022-2021学年度上学期高二期末考试试题（数学理）答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
D
A
A
A
A
C
C
D
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分
11． m>1． 12.[－4,4] 13. . 14.－11 15．80
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
16(本小题满分13分)
解 由“p且q”是真命题，
则p为真命题，q也为真命题． [3分]
若p为真命题，a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]
若q为真命题，
即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2， [10分]
综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. [13分]
17(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）设数列的公差为，由………………………… 2分
解得 ………………………… 4分
所以． ………………………… 6分
（Ⅱ）由于，所以，，…………………… 9分
所以．…… 13分
18(本小题满分13分)
作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，
将点C(7,9)代入z得最大值为21. ..................(4分)
(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，
故z的最小值是|MN|2＝.(8分)
(3)z＝2×表示可行域内任一点(x，y)与定点Q连线的斜率的两倍，
因此kQA＝，kQB＝，
故z的范围为.(13分)
19(本小题满分13分)
解：(1)如图，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sin θ＝.
由于0°＜θ＜90°，所以cos θ＝ ＝ .
由余弦定理得BC＝＝40海里/小时，
所以该船的行驶速度为40海里/小时．
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝，则sin B＝＝60×＝，
过A作BC的垂线，交BC的延长线于D，则AD的长是船离观测站的最近距离．
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝80×＝15 海里，
故船在行驶过程中离观测站A的最近距离为15 海里．
20(本小题满分14分）
21(本小题满分14分)
【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为
由已知b= 离心率 ,得
所以,椭圆C的方程为
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q的坐标为 ,,则,
设AB(),直线AB的方程为,代人
得:.
由△>0,解得,由根与系数的关系得
四边形APBQ的面积
故当 ②由题意知,直线PA的斜率,直线PB的斜率
则
=
=,由①知
可得
所以的值为常数0
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