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课时作业34 一元二次不等式及其解法
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知f(x)＝则不等式f(x)<f(4)的解集为( )
A．{x|x≥4} B．{x|x<4}
C．{x|－3<x<0} D．{x|x<－3}
解析：f(4)＝＝2，不等式即为f(x)<2.
当x≥0时，由<2，得0≤x<4；
当x<0时，由－x2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.
综上，x<4.故f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}．
答案：B
2．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．[－4,4]
B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析：不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.
答案：D
3．设a>0，不等式－c<ax＋b<c的解集是{x|－2<x<1}，则a:b:c＝( )
A．1:2:3 B．2:1:3
C．3:1:2 D．3:2:1
解析：∵－c<ax＋b<c，又a>0，∴－<x<.
∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，
∴∴
∴a:b:c＝a::＝2:1:3.
答案：B
4．不等式(x2－2)log2x>0的解集是( )
A．(0,1)∪(，＋∞) B．(－，1)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．(－，)
解析：原不等式等价于
或
∴x>或0<x<1，
即不等式的解集为(0,1)∪(，＋∞)．
答案：A
5．(2021·安徽理，6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg2} B．{x|－1<x<－lg2}
C．{x|x>－lg2} D．{x|x<－lg2}
解析：由条件知f(x)>0的解集为{x|－1<x<}，
又已知f(10x)>0，
∴－1<10x<，∴x<－lg2.
解答本题由10x<.求x时忽视指数函数的单调性，求出x>－lg2的错误．
答案：D
6．(2021·陕西理，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 (单位：m)的取值范围是( )
A．[15,20] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
解析：设矩形的另一条边长为t，由相像学问得＝，∴t＝40－x，所以(40－x)x≥300，即x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30，故选C.
答案：C
7．不等式≤x－2的解集是( )
A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)
解析：①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.
答案：B
8．已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图像为( )
解析：由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝－x2＋x＋2的图像开口向下，顶点坐标为(，)．故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·烟台模拟)已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为(－，)，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
解析：由ax2＋2x＋c>0的解集为(－，)知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．
答案：(－2,3)
10．在实数集上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a.故－x2＋x＋a2－a<1对任意x∈R都成立．
即－x2＋x<－a2＋a＋1对任意x∈R都成立．
而－x2＋x＝－(x－)2＋≤，只需－a2＋a＋1>即可，即4a2－4a－3<0，解得－<a<.
答案：(－，)
11．(2022·浙江绍兴一模，12)若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x>0，y>0满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)<2f(4)的解集是________．
解析：由已知，得f(x＋6)＋f(x)＝f[x(x＋6)]，2f(4)＝f(16)．
∴f[x(x＋6)]<f(16)．
由题意，得解得0<x<2.
答案：(0,2)
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．
(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
解：(1)依据题意，m≠1且Δ>0，
即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，
所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下，
由于＋＝＝m－2，
所以＋＝(＋)2－
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}．
13．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)由于不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.
由根与系数的关系，得解得
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0为x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}；
②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}；
③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅.
综上所述：当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式的解集为∅.
14．(2022·金华模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．
解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0<x<m<n<，∴x－m<0，1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)<m.
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