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补偿练4 三角函数与三角恒等变换
(限时：40分钟)
一、选择题
1.已知sin α＋cos α＝，则sin2＝( )
A. B. C. D.
解析 ∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴sin 2α＝－，∴sin2＝＝＝.
答案 B
2.已知函数f (x)＝2sin xcos x，为了得到函数g(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象，只需要将y＝f (x)的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
解析 由于函数f (x)＝2sin xcos x＝sin 2x，函数g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin＝sin 2，故将y＝f (x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)的图象.
答案 D
3.若函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可以为( )
A.f (x)＝3sin
B.f (x)＝3sin
C.f (x)＝3sin
D.f (x)＝3sin
解析 由图象可知A＝3，＝－＝2π⇒T＝4π⇒ω＝.
当x＝－时，sin＝1⇒－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴解析式可以为f (x)＝3sin.
答案 D
4.已知函数f (x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1，若f (x－φ)为偶函数，则φ可以为( )
A. B. C. D.
解析 f (x)＝sin 2x－2sin2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，则f (x－φ)＝2sin，∵f(x－φ)为偶函数，∴－2φ＋＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝－－，k∈Z，结合各选项可知，φ可以为，故选B.
答案 B
5.已知函数f (x)＝tan，则下列说法错误的是( )
A.函数f (x)的周期为
B.函数f (x)的值域为R
C.点是函数f (x)的图象一个对称中心
D.f ＜f
解析 由题设知，A：T＝，正确；B：y∈R，正确，
C：f ＝0，正确；
D：f ＝tan ＞0，f ＝tan＜0，tan ＞tan ，错误.
答案 D
6.在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccos A，c＝2bcos A，则△ABC的外形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析 由b＝2ccos A，依据正弦定理得sin B＝2sin Ccos A，由于在三角形中，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
代入上式可得：
sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Ccos A，即sin Acos C－cos Asin C＝sin(A－C)＝0，
又－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，同理A＝B，所以△ABC的外形为等边三角形.
答案 C
7.使奇函数f (x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在上为减函数的θ值为( )
A.－ B.－ C. D.
解析 由已知得：f (x)＝2sin，
由于函数为奇函数，
故有θ＋＝kπ，k∈Z，
即θ＝kπ－(k∈Z)，可淘汰B、C选项，
然后分别将A和D选项代入检验，
易知当θ＝时，
f (x)＝－2sin 2x其在区间上递减.
答案 D
8.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知＝，且a2－c2＝2b，则b＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 在△ABC中，由＝得acos C＝3ccos A，由余弦定理有cos C＝＝3，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍).
答案 D
9.设ω＞0，函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.3
解析 ∵函数y＝sin的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴＝n×，n∈Z，∴ω＝n×，n∈Z，
又ω＞0，故其最小值是.
答案 C
10.已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示.若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为( )
A. B.π C.π D.或π
解析 要使方程f (x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解.只需函数y＝f (x)与函数y＝m的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x＝或关于x＝对称，因此x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝.
答案 D
11.设函数f (x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则( )
A.y＝f (x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B.y＝f (x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C.y＝f (x)的最小正周期为，且在上为增函数
D.y＝f (x)的最小正周期为，且在上为减函数
解析 f (x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，∵函数图象关于直线x＝0对称，
∴函数f (x)为偶函数，
∴φ＝，∴f (x)＝2cos 2x，
∴T＝＝π，∵0＜x＜，∴0＜2x＜π，
∴函数f (x)在上为减函数.
答案 B
12.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f (x)的图象( )
A.关于点对称
B.关于直线x＝对称
C.关于点对称
D.关于直线x＝对称
解析 由题意可得＝π，解得ω＝2，
故函数f (x)＝sin(2x＋φ)，其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin＝sin是奇函数，又|φ|＜，故φ＝－，故函数f (x)＝sin，故当x＝时，函数f (x)＝sin ＝1，故函数f (x)＝sin关于直线x＝对称，
答案 D
二、填空题
13.已知sin 2α＝，0＜α＜，则cos的值等于________.
解析 ∵(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α
＝1＋sin 2α＝1＋＝，0＜α＜，
∴sin α＋cos α＝，∴cos＝
＝cos α＋sin α＝.
答案
14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B＝A＋，b＝2a，则B＝________.
解析 ∵b＝2a，
∴sin B＝2sin A＝2sin＝sin B－cos B⇒cos B＝0，∴B＝.
答案
15.已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示.若f (α)＝1，α∈，则sin 2α＝________.
解析 由函数图象知：A＝3，＝－＝，所以T＝π，则ω＝2；故f (x)＝3sin(2x＋φ)，又过，解得φ＝，
f (x)＝3sin，由于f (α)＝1，即3sin＝1，得sin＝，∵α∈，∴2α∈，
∴2α＋∈，故cos＝－，
则sin 2α＝sin
＝sincos －cossin
＝.
答案
16.设函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______.(填序号)
①f (x)的图象过点；
②f (x)在上是减函数；
③f (x)的一个对称中心是；
④将f (x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sin ωx的图象.
解析 ∵周期为π，
∴＝π⇒ω＝2，
∴f (x)＝3sin(2x＋φ)，f ＝3sin，
则sin＝1或－1，
∵φ∈，∴＋φ∈，
∴＋φ＝⇒φ＝，
∴f (x)＝3sin.
①：令x＝0⇒f (x)＝，正确.
②：令2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z⇒kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.令k＝0⇒＜x＜，
即f (x)在上单调递减，而在上单调递增，错误.
③：令x＝⇒f (x)＝3sin π＝0，正确.
④：应平移个单位，错误.
答案 ①③
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