资源描述
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1．下列角中终边与330°相同的角是( )
A．30° B．－30°
C．630° D．－630°
解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，α＝－30°.
2．半径为π cm，圆心角为60°所对的弧长是( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
解析：选B.l＝|α|·r＝×π＝(cm)，故选B.
3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.∵角θ的终边过(4，－3)，
∴cos θ＝.
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－.
4．已知tan α＝2，则的值为( )
A．－ B．－2
C. D．2
解析：选C.＝＝＝.
5．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数也是偶函数 D．是非奇非偶函数
解析：选A.y＝sin＝sin，向左平移个单位长度后为y＝sin＝sin 2x，为奇函数，故选A.
6．假如cos(π＋A)＝－，那么sin(＋A)＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B.cos(π＋A)＝－cos A＝－，
则cos A＝，sin(＋A)＝cos A＝.
7．函数y＝sin(3x＋)的图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
解析：选A.令3x＋π＝＋kπ(k∈Z)，得x＝－＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－.
8．函数y＝tan(－x)(x∈[－，]且x≠0)的值域为( )
A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．[－1，＋∞)
解析：选B.∵－≤x≤，∴≤－x≤且－x≠.由函数y＝tan x的单调性，可得y＝tan(－x)的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：选D.由于y＝sin(x－)＝－cos x，
所以T＝2π，A正确；
y＝cos x在上是减函数，y＝－cos x在上是增函数，B正确；由图象知y＝－cos x关于直线x＝0对称，C正确；y＝－cos x是偶函数，D错误．故选D.
10．当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f(－x)是( )
A．奇函数且图象关于点(，0)对称
B．偶函数且图象关于点(π，0)对称
C．奇函数且图象关于直线x＝对称
D．偶函数且图象关于点(，0)对称
解析：选C.当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asin(x－)(A＞0)，所以y＝f(－x)＝Asin(－x－)＝－Asin x，所以函数为奇函数且图象关于直线x＝对称，故选C.
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知函数y＝3cos(π－x)，则当x＝________时函数取得最大值．
答案：2kπ＋π(k∈Z)
12.的值等于________．
解析：原式＝
＝
＝＝－2.
答案：－2
13．一正弦曲线的一个最高点为(，3)，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x轴于点(－，0)，最低点的纵坐标为－3，则这一正弦曲线的解析式为________．
解析：由题知A＝3，由T＝4×＝2，求得ω＝π，再利用当x＝时，πx＋φ＝，求出φ＝.
答案：y＝3sin
14．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意实数x都有f＝f恒成立，设g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1，则g＝________．
解析：∵f＝f，
∴函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)关于直线x＝对称，
即f＝±3.
∴h(x)＝3cos(ωx＋φ)关于对称，即h＝0.
∴g＝h＋1＝1.
答案：1
15．已知ω＞0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：由于ω＞0，f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，所以函数f(x)＝sin(ωx＋)的周期T≥2(π－)＝π.又ω＞0，所以0＜ω≤2.
由于＜x＜π，
所以＋＜ωx＋＜ωπ＋，
所以
解得≤ω≤.
答案：[，]
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且＜α＜，求cos α－sin α的值．
解：(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.
又∵＜α＜，
∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.
∴cos α－sin α＝－.
17．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
解：(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
18. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，假如从水轮上点P从水中毁灭时(图中点P0)开头计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多长时间？
解：(1) 建立如图所示的直角坐标系．设角φ(－＜φ＜0)是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟所转过的角为＝，
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin(t＋φ)＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin(t－)＋2.
(2)令z＝4sin(t－)＋2＝6，得sin(t－)＝1，
令t－＝，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
19．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，已知它的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ.
(2)求函数f(x)的递减区间．
(3)画出f(x)在[0，π]上的图象．
解：(1)由于函数f(x)的一条对称轴是直线x＝，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
由于－π＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，
＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的递减区间为
(k∈Z)．
(3)由f(x)＝sin(2x－)列表如下：
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数f(x)在[0，π]上的图象如图．
20．已知函数f(x)＝2cos(－x－)．
(1)求函数f(x)的对称轴；
(2)将函数f(x)的图象上全部的点向左平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数y＝g(x)＋k在(－2，4)上有两个零点，求实数k的取值范围．
解：(1)由于f(x)＝2cos(－x－)，
所以f(x)＝2sin(x＋)．
令x＋＝＋kπ，k∈Z.
解得x＝1＋4k，k∈Z，
所以函数f(x)的对称轴为x＝1＋4k，k∈Z.
(2)依题意，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为g(x)＝2sin[(x＋1)＋]＝2cos x，
函数y＝g(x)＋k在(－2，4)上有两个零点，
即函数y＝g(x)与y＝－k在x∈(－2，4)上有两个交点，如图所示，
所以0＜－k＜2，即－2＜k＜0，
所以实数k的取值范围为(－2，0)．
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