资源描述
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)
1．cos230°－sin230°的值是( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.cos230°－sin230°＝cos 60°＝.
2．已知sin＝，则sin 2x的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.sin 2x＝cos
＝cos＝1－2sin2
＝1－2×＝.
3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：选B.f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，故T＝＝π.
4．cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°－2cos 75°cos 15°的值等于( )
A．0 B.
C．1 D．－
解析：选A.由于cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°＝cos 76°·cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝，2cos 75°·cos 15°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，所以原式＝－＝0，故选A.
5．若2sin 2x＝cos 2x＋1，且cos x≠0，则tan 2x＝( )
A. B．－
C．2 D.
解析：选A.由已知得4sin xcos x＝2cos2x，∴tan x＝，∴tan 2x＝＝，故选A.
6．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )
A．80° B．70°
C．20° D．10°
解析：选B.易知点P到坐标原点的距离为
＝
＝ ＝2cos 20°，
由三角函数的定义可知cos α＝＝＝sin 20°，
∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.
7．假如α∈，且sin α＝，则sin－cos(π－α)等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.sin－cos(π－α)
＝sin α＋cos α＋cos α
＝sin α＋cos α.
∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－.
∴sin α＋cos α＝×－×＝－.
8.的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析：选C.原式＝
＝＝＝2.
9．在△ABC中，若cos Acos B＝－cos2＋1，则△ABC确定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C.由已知得2cos Acos B＝－2cos2＋2＝－(cos C＋1)＋2＝cos(A＋B)＋1＝cos Acos B－sin Asin B＋1，∴cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，又－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B，故选C.
10．函数y＝sin xcos x＋cos2x－的图象的一个对称中心是( )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(，－)
解析：选B.y＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
h(x)＝sin(2x＋)的对称中心为(－＋，0)，k∈Z，
∴y＝sin(2x＋)－的对称中心为(－＋，－)，k∈Z，阅历证知B正确．
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：由已知得cos α＝－，所以cos＝cos α＋sin α＝－.
答案：－
12．已知α，β为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.
∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．
∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，
∴tan α＝1.
答案：1
13．已知A，B为锐角，且满足tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos(A＋B)＝________．
解析：由A，B为锐角，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，得tan(A＋B)＝－1，A＋B＝，故cos(A＋B)＝－.
答案：－
14．已知sin xcos x＋3cos2x－＝Asin(2x＋φ)，其中A>0，0<φ<2π，则A＝________，φ＝________．
解析：sin xcos x＋3cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，∴A＝，φ＝.
答案：
15．若函数y＝sin2与函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象的对称轴相同，则实数a的值为________．
解析：y＝sin2＝，这个函数图象的对称轴方程是2x＋＝kπ(k∈Z)，取k＝0，得其中一条对称轴方程是x＝－.假如x＝－是函数y＝sin 2x＋acos 2x的对称轴，则当x＝－时，这个函数取得最值，所以sin＋acos＝±，即－＋a＝±，解得a＝－.当a＝－时，函数y＝sin 2x＋acos 2x＝sin 2x－cos 2x＝＝－cos，明显符合要求．
答案：－
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知tan α＝2，tan β＝－，其中0<α<，<β<π.
求：(1)tan(α－β)的值；
(2)α＋β的值．
解：(1)∵tan α＝2，tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝7.
(2)∵tan(α＋β)＝＝＝1，
且0<α<，<β<π，∴<α＋β<.
∴α＋β＝.
17．已知函数f(x)＝2asincos＋sin2－cos2(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴；
(2)当a＝2时，在f(x)＝0的条件下，求的值．
解：f(x)＝asin x－cos x.
(1)当a＝1时，
f(x)＝sin x－cos x＝sin(x－)，
则函数f(x)的最小正周期为2π.
令x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)．
则函数f(x)的图象的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)当a＝2，f(x)＝0时，有0＝2sin x－cos x，
则tan x＝，
则原式＝＝
＝＝.
18．已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos；(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<.
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝－.
(2)∵<<，
∴sin＝＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
19．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.
证明：由于tan(α－β)＝sin 2β，
tan(α－β)＝，
sin 2β＝2sin βcos β＝＝，
所以＝，
整理得：tan α＝.
所以tan α＋tan β
＝
＝＝2tan 2β.
20．已知函数f(x)＝2cos＋2sin.
(1)求函数f(x)的单调减区间；
(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合；
(3)若f(x)＝，求cos的值．
解：f(x)＝2cos xcos＋2sin xsin－2cos x
＝cos x＋sin x－2cos x＝sin x－cos x
＝2sin.
(1)令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(x)取最大值2时，x－＝2kπ＋(k∈Z)，
则x＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的最大值是2，取得最大值时的x的取值集合是.
(3)f(x)＝，即2sin＝，
∴sin＝.
∴cos＝1－2sin2
＝1－2×＝.
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