资源描述
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题．在每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1．下列说法错误的是( )
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B．一组数据的平均数确定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
解析：选B.平均数不大于最大值，不小于最小值．
2．(2021·高考新课标全国卷Ⅰ)为了解某地区的中学校生的视力状况，拟从该地区的中学校生中抽取部分同学进行调查，事先已了解到该地区学校、学校、高中三个学段同学的视力状况有较大差异，而男女视力状况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简洁随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
解析：选C.由于三个学段同学的视力状况差别较大，故需按学段分层抽样．
3．有一个容量为80的样本，数据的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分为( )
A．10组 B．9组
C．8组 D．7组
解析：选B.据题意：最大值与最小值的差为89，＝8.9，故应分9组较合适．
4．(2021·高考江西卷)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：选D.由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01.
5．样本容量为100的频率分布直方图如图所示．依据样本的频率分布直方图估量样本数据落在[6，10)内的频数为a，样本数据落在[2，10)内的频率为b，则a，b分别是( )
A．32，0.4 B．8，0.1
C．32，0.1 D．8，0.4
解析：选A.落在[6，10)内频率为0.08×4＝0.32，
100×0.32＝32，∴a＝32，
落在[2，10)内频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
∴b＝0.4.
6．在某项体育竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( )
A．92，2 B．92，2.8
C．93，2 D．93，2.8
解析：选B.去掉最高分95，最低分89，所剩数据的平均值为(90×2＋93×2＋94)＝92，方差s2＝[(90－92)2×2＋(93－92)2×2＋(94－92)2]＝2.8.
7．(2021·高考福建卷)已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设依据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋. 若某同学依据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，<a′
C.<b′，>a′ D.<b′，<a′
解析：选C.由(1，0)，(2，2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
x＝3.5，y＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴<b′，>a′.
8．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
A．1% B．2%
C．3% D．5%
图1
图2
解析：选C.由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%，故选C.
9.某校高一、高二班级各有7个班参与歌咏竞赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是( )
A．高一的中位数大，高二的平均数大
B．高一的平均数大，高二的中位数大
C．高一的平均数、中位数都大
D．高二的平均数、中位数都大
解析：选A.由茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为，所以高二的平均数大．故选A.
10．某工厂对一批产品进行了抽样检测，并依据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制了频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是( )
A．90 B．75
C．60 D．45
解析：选A.产品净重小于100克的频率
P＝(0.050＋0.100)×2＝0.3，
设样本容量为n，由已知得＝0.3，
∴n＝120.
而净重大于或等于98克而小于104克的产品的频率P′＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.
∴个数为0.75×120＝90.故选A.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)
11．(2022·广州调研)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征(众数、中位数、平均数、方差或标准差)对应相同的是________．
解析：由s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，可知B样本数据每个变量增加2，平均数也增加了，但s2不变，故方差不变(或标准差)．
答案：方差(标准差)
12．为了了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有同学800名、600名、500名，若高三同学共抽取25名，则高一同学抽取的人数是________．
解析：设抽取人数为x，则＝，得x＝40.
答案：40
某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影竞赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示，记分员去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应当是________．
解析：最低分为88，最高分若为90＋x，则计算平均分＝≠91，所以最高分应为94，则有91×7－(89×2＋92×2＋93＋91)＝91，∴x＝1.
答案：1
(2022·广州调研)某种产品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下一组数据：
广告费
2
4
5
6
8
销售额
30
40
60
50
70
则回归方程为________．
解析：＝5，＝50，＝145iyi＝1 380，
把数据代入公式，
可求得＝17.5，＝6.5，
故回归方程为＝6.5x＋17.5.
答案：＝6.5x＋17.5
15．某校从参与高一班级期中考试的同学中随机抽取60名同学，将其数学成果(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如下图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观看图形的信息，据此估量本次考试的平均分为________．
解析：在频率分布直方图中，全部小长方形的面积和为1，
设[70，80)的小长方形面积为x，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，
解得x＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
答案：71
三、解答题(本大题共5小题，满分45分，解答要有具体文字说明过程)
有以下三个案例：
案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；
案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入状况；
案例三：从某校1 000名高一同学中抽取10人参与一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．
(1)你认为这些案例应接受怎样的抽样方式较为合适？
(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程；
(3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：假如在起始组中随机抽取的号码为L(编号从0开头)，那么第K组(组号K从0开头，K＝0，1，2，…，9)抽取的号码的百位数为组号，后两位数为L＋31K的后两位数．若L＝18，试求出K＝3及K＝8时所抽取的样本编号．
解：(1)案例一用简洁随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样．
(2)①分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层；
②确定抽样比例k＝＝；
③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人；
④按简洁随机抽样方式在各层确定相应的样本；
⑤汇总构成一个容量为40的样本．
(3)K＝3时，L＋31K＝18＋31×3＝111，故第三组样本编号为311.K＝8时，L＋31K＝18＋31×8＝266，
故第8组样本编号为866.
某制造商为运动会生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：
40．02 40.00 39.98 40.00 39.99
40．00 39.98 40.01 39.98 39.99
40．00 39.99 39.95 40.01 40.02
39．98 40.00 39.99 40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组
频数
频率
[39.95，39.97)
[39.97，39.99)
[39.99，40.01)
[40.01，40.03]
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试依据抽样检查结果估量这批产品的合格只数．
解：(1)
分组
频数
频率
[39.95，39.97)
2
0.10
5
[39.97，39.99)
4
0.20
10
[39.99，40.01)
10
0.50
25
[40.01，40.03]
4
0.20
10
合计
20
1
50
(2)∵抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，
∴合格率为×100%＝90%，
∴10 000×90%＝9 000(只)．
即依据抽样检查结果，可以估量这批产品的合格只数为9 000.
18．甲、乙两位同学参与数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)现要从中选派一人参与数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位同学参与合适？请说明理由．
解：(1)作出茎叶图如下：
(2)甲＝(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
乙＝(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.
s＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
∵甲＝乙，s＜s，
∴甲的成果较稳定，派甲参赛比较合适．
19．有5名同学的数学和化学成果如下表所示：
同学学科
A
B
C
D
E
数学成果(x)
88
76
73
66
63
化学成果(y)
78
65
71
64
61
(1)假如y与x具有相关关系，求线性回归方程；
(2)猜想假如某同学数学成果为79分，他的化学成果为多少？
解：(1)∵＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8，
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174,
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054
∴-52＝27 174-5×73.22＝382.8,
iyi－5＝25 054－5×73.2×67.8＝239.2，
设y与x的线性回归方程为＝x＋，
∴＝＝≈0.625，
＝－＝67.8－0.625×73.2＝22.05，
∴线性回归方程为y＝22.05＋0.625x.
(2)当x＝79时，y＝22.05＋0.625×79＝71.425，
即当某同学的数学成果为79分时，他的化学成果约为71分．
20．(2022·河南三市调研)PM2.5是指环境空气中当量直径小于等于25微米的颗粒物，对人体健康及环境影响很大．
某市2022年4月1日——4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)依据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为略微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
解：(1)频率分布表：
分组
频数
频率
[41，51)
2
[51，61)
1
[61，71)
4
[71，81)
6
[81，91)
10
[91，101)
5
[101，111]
2
(2)频率分布直方图：
(3)答对下述两条中的一条即可：
(ⅰ)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好．
(ⅱ)略微污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近略微污染的天数有15天，加上处于略微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．
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