2021高中数学北师大版必修二导学案：《平行关系的判定》.docx

第8课时　平行关系的判定

1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简洁问题.

若一个平面内的全部直线与另一个平面平行,这两个平面明显无公共点,所以它们是相互平行的,用这种方法来推断两个平面平行明显格外繁琐,那么能不能用一个平面内最少的直线与另一个平面平行来推断这两个平面平行呢?若一个平面内有一条直线与另一个平面平行,这两个平面是否平行?若有两条呢?

问题1:推断平面外的一条直线与平面平行只需在平面找出一条直线与该直线平行即可;推断两个平面平行,只需在一个平面找出　　与另一个平面平行即可,它们分别是直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理. 
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
符号语言:若　a⊄α,b⊂α,a∥b　,则a∥α. 
若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

符号语言:若　a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β　,则α∥β. 
问题2:证明直线和平面平行的方法归纳:
(1)定义法:依据条件推断已知直线与平面　没有公共点　,但要说明直线与平面　无公共点　往往比较困难,所以一般不接受定义法. 
(2)判定定理:在已知平面内找出一条直线,而这条直线与已知直线　平行　,从而符合判定定理的条件,进而可判定已知直线和已知平面平行.找“线线平行”常用以下方法: 
①空间直线平行关系的传递性法;
②三角形中位线法;
③平行四边形法;
④成比例线段法.
问题3:证明平面和平面平行的方法归纳:
证明两个平面平行除了可以用两个平面平行的判定定理外,还可以用以下两种方法:
(1)假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面　平行　; 
(2)假如两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行,即平面平行具有　传递性　. 
这两个结论都可以用两个平面平行的判定定理推导得出,可以看作该定理的推理.
问题4:证明直线和平面平行、平面和平面平行的基本思路.
(1)证明直线和平面平行的基本思路:直线和平面平行的判定可转化为直线和平面内的一条直线平行,即“若　线线　平行,则　线面　平行”.由此可以看出,要证明平面外的一条直线和这个平面平行,可转化为在这个平面内找出　一条直线　和已知直线平行,就可以判定已知直线和这个平面平行. 
(2)欲证两个平面平行,只需证明一个平面内的两条　相交　直线同另一个平面平行,而证明线面平行则需要证明线线平行,由此可见,证明面面平行的基本思路为　线线平行　、　线面平行　、　面面平行　. 

1.下列条件中,能得出直线a与平面α平行的条件是(　　).
A.a⊄α,b⊂α,a∥b
B.b⊂α,a∥b
C.b⊂α,c∥a,a∥b,c∥α
D.b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD
2.下列说法正确的是(　　).
A.若平面α内的很多条直线分别与平面β平行,则α∥β
B.两个平面分别经过两条平行线,则这两个平面平行
C.过已知平面外一条直线,必能作出与该平面平行的平面
D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与此平面平行
3.已知直线l1,l2,平面α,且l1∥l2,l1∥α,则l2与α的位置关系是　　　　. 
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1C1,B1C1的中点.
求证:EF∥平面ABC1.

直线与平面平行的判定
正方体ABCD — A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线A1B、B1C的中点.求证: EF∥平面ABCD.

平面与平面平行的判定
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点E、D分别是B1C1、BC的中点.求证:平面A1EB∥平面C1AD.

线面平行,面面平行的开放性问题
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H、N分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD、BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足什么条件时,有MN∥平面B1BDD1(填上一个正确的条件即可)?

在四棱锥P—ABCD中,E、F分别是PD、AB的中点.那么EF与平面PBC的位置关系如何?请说明理由.

如图,在正方体ABCD — A1B1C1D1中,分别过三个顶点作平面AB1D1、平面C1DB,求证:平面AB1D1∥平面C1DB.

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、P分别是CC1、C1D1的中点,作出过MP且与截面A1BD平行的截面.

1.在围成正方体ABCD-A1B1C1D1的面中,与平面AC平行的平面是(　　).
A.平面A1C1　　　　　　　 B平面AD1
C.平面AB1 D.平面BC1
2.已知a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题:
①a∥cb∥c⇒a∥b;②a∥γb∥γ⇒a∥b;③α∥cβ∥c⇒α∥β;
④α∥γβ∥γ⇒α∥β;⑤α∥ca∥c⇒α∥a;⑥a∥γα∥γ⇒α∥a.
其中正确的命题是(　　).
A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①③④
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E是PC上的动点,当PE=　　　　PC时,PA∥平面BDE. 

第3题图

第4题图

4.如图,已知长方体ABCD — A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点.求证:平面A1EFD1∥平面BCHG.

(2021年·新课标全国Ⅱ卷改编)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.
　　证明:BC1∥平面A1CD.

　　考题变式(我来改编):

第8课时　平行关系的判定

学问体系梳理
问题1:两条相交直线　a⊄α,b⊂α,a∥b　a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β
问题2:(1)没有公共点　无公共点　(2)平行
问题3:(1)平行　(2)传递性
问题4:(1)线线　线面　一条直线　(2)相交　线线平行　线面平行　面面平行
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1.A　选项B、C、D都缺条件a⊄α.
2.D　选项A、B中两平面还可能相交.选项C中,当直线与平面相交时,不能作出与该平面平行的平面.
3.l2∥α或l2⊂α　由于l1平行于平面α,所以在α内存在直线b与l1平行.由于l2∥l1,所以l2∥b,所以l2∥α或l2⊂α.
4.解:由于E,F分别是A1C1,B1C1的中点,
所以EF∥A1B1,
又由于在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,
所以EF∥AB,
又EF⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,
所以EF∥平面ABC1.
重点难点探究
探究一:

【解析】分别取AB、BC的中点G、H,连接EG,FH,GH.
则由三角形中位线性质知:
EG∥FH,且EG=FH,
∴四边形EGHF是平行四边形,
∴EF∥GH.
∵EF⊄平面ABCD,而GH⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
【小结】本题利用中点关系构造平行四边形,从而在平面ABCD内确定了与EF平行的直线.利用中点关系确定线线平行是一种格外重要的技巧.
　　探究二:【解析】连接DE.
由DE∥BB1,又BB1∥AA1,∴DE∥AA1.
由DE=BB1,又BB1=AA1,∴DE=AA1,
∴四边形A1EDA是平行四边形,A1E∥AD.
∵A1E⊄平面C1AD,AD⊂平面C1AD,
∴A1E∥平面C1AD.
易证得EB∥C1D,EB⊄平面C1AD,C1D⊂平面C1AD,
∴EB∥平面C1AD.
又A1E∩EB=E,平面A1EB经过A1E和EB,
∴平面A1EB∥平面C1AD.
【小结】要证明面面平行,关键是把问题转化为线面平行,再利用线面平行的判定方法进行证明.该问题还可利用“一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行”的方法证明.
　　探究三:【解析】M在FH上.
理由:(1)当M为H点时.
∵H、N为棱CD、BC的中点,∴HN∥BD.
∵BD⊂平面 B1BDD1,HN⊄平面B1BDD1,
∴HN∥平面B1BDD1,即MN∥平面B1BDD1.
(2)当M为F点时,取BD的中点P,连接PN、FN、D1P,
∵N为BC中点,F为D1C1中点,
∴PN∥D1F,PN=D1F,
∴四边形D1PNF为平行四边形,∴FN∥D1P.
∵D1P⊂平面B1BDD1,FN⊄平面B1BDD1,
∴FN∥平面B1BDD1,即MN∥平面B1BDD1.
(3)当M为FH上任一点,作MQ∥D1C1,交D1D于点Q,
P为BD的中点,
易知四边形MQPN为平行四边形,
∴MN∥PQ.
∵PQ⊂平面 B1BDD1,MN⊄平面B1BDD1,
∴MN∥平面B1BDD1.
综上可知,M在线段FH上.
【小结】这类问题常将几个特殊点作为突破口,探究它们适合的条件,然后说明该条件下的一般点也满足题意,从而可确定问题的答案.
思维拓展应用
应用一:

平行,理由如下:
取PC中点G,连接EG、GB.
由EG∥DC,FB∥DC,可知EG∥FB,
又EG=12DC,FB=12DC,
可知EG=FB,得四边形EGBF为平行四边形,
∴EF∥GB.
∵EF⊄平面PBC,而GB⊂平面PBC,∴EF∥平面PBC.
　　应用二:∵DC1∥AB1,而DC1⊂平面C1DB,AB1⊄平面C1DB,∴AB1∥平面C1DB.同理可知: AD1∥平面C1DB,
又AD1∩AB1=A,∴平面AB1D1∥平面C1DB.
　　应用三:取B1C1的中点N,连接PN、MN,截面PMN即为所求的截面.证明如下:
连接D1C,
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点,
∴PM∥D1C.
∵A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1D1CB为平行四边形,
∴A1B∥D1C,
∴PM∥A1B,
同理PN∥BD.
∵PM⊂平面PMN,PN⊂平面PMN,PM∩PN=P,A1B⊂平面A1BD,BD⊂平面A1BD,
∴平面A1BD∥平面PMN.
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1.A　

如图所示,由平面平行的判定定理知,平面A1C1内有两条相交直线A1D1、C1D1都平行于平面AC.
2.C　①④正确;②错在a、b还可能相交或异面;③错在α与β可能相交;⑤⑥错在a可能在α内.
3.12　问题转化为E运动到什么位置时,平面BDE中能找到与PA平行的直线,连接AC交BD于点O,连接EO,则PA,EO是共面直线,由于O是AC的中点,所以E是PC的中点时,PA∥OE,且EO⊂平面BDE,所以PA∥平面BDE.
4.解:A1E∥GB,A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
同理可证EF∥平面BCHG,∵A1E∩EF=E,
∴平面A1EFD1∥平面BCHG.
全新视角拓展
连接AC1交A1C于点O,
则OA=OC1且DA=DB,
∴DO是△ABC1的中位线,
∴DO∥BC1且DO⊂平面A1DC,BC1⊄平面A1DC,
∴BC1∥平面A1DC.
思维导图构建
　　⊂　⊂　b∥c